8 svar
106 visningar
Dualitetsförhållandet 1268
Postad: 29 aug 2020 14:35

Visa att uttrycket är ett heltal för varje heltal n

Mitt påbörjade lösningsförsök:

 

1+n(n+1)(n+2)(n+3)=1+n((n2+3n+2)(n+3))==1+n(n3+6n2+11n+6)=n4+6n3+11n2+6n+1Hur skriver man n4+6n3+11n2+6n+1 som en kvadrat?

Laguna 14525
Postad: 29 aug 2020 14:45

Jag skulle prova ett polynom. Hur kan ett polynom p(n) se ut vars kvadrat är ditt fjärdegradspolynom?

Moffen 1285
Postad: 29 aug 2020 14:47 Redigerad: 29 aug 2020 14:47

Hej!

För att skriva n4+6n3+11n2+6n+1n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1 som en kvadrat kan vi börja med att notera ett par saker:

1. Vilken är den högsta exponenten (rr) som får förekomma inuti kvadraten?

2. Vad måste det vara för koefficient framför den termen (aa)?

3. Vad måste konstant termen vara (cc)?

Ansätt sedan ett generellt polynom av grad rr och kvadrera det, jämför det sedan med ditt polynom.

Med hjälp att detta kan du hitta aa och cc och rr i anr+bn+c2\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}.

Bestäm bb med hjälp av dina värden på aa, cc och rr genom att jämföra koefficienter: anr+bn+c2=n4+6n3+11n2+6n+1\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1.

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 29 aug 2020 14:49

(x2+3x+1)2

Dualitetsförhållandet 1268
Postad: 29 aug 2020 15:08
Moffen skrev:

Hej!

För att skriva n4+6n3+11n2+6n+1n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1 som en kvadrat kan vi börja med att notera ett par saker:

1. Vilken är den högsta exponenten (rr) som får förekomma inuti kvadraten?

2. Vad måste det vara för koefficient framför den termen (aa)?

3. Vad måste konstant termen vara (cc)?

Ansätt sedan ett generellt polynom av grad rr och kvadrera det, jämför det sedan med ditt polynom.

Med hjälp att detta kan du hitta aa och cc och rr i anr+bn+c2\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}.

Bestäm bb med hjälp av dina värden på aa, cc och rr genom att jämföra koefficienter: anr+bn+c2=n4+6n3+11n2+6n+1\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1.

Finns det någon generell metod för att lösa ut vad b är?

Moffen 1285
Postad: 29 aug 2020 15:15

Finns det någon generell metod för att lösa ut vad b är?

Vad menar du? I ditt fall ja, men vad menar du med "generell"? Det är ju en väldigt specifik uppgift du har.

Har du gjort steg 1-3? 

Men jag kan citera mitt eget inlägg om det hjälper:

Bestäm bb med hjälp av dina värden på aa, cc och rr genom att jämföra koefficienter: anr+bn+c2=n4+6n3+11n2+6n+1\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1.

Laguna 14525
Postad: 29 aug 2020 16:12

Om r är större än 2 så behövs det fler termer, men r kan bara vara 2 här.

Eftersom konstanttermen är 1 kan konstanttermen i p(n) bara vara 1 eller -1, men om den har fler faktorer får man kanske prova alla. 

tomast80 3507
Postad: 29 aug 2020 17:14 Redigerad: 29 aug 2020 17:18

Alternativt med induktion:

p(n)=1+n(n+1)(n+1)(n+3)p(n)=\sqrt{1+n(n+1)(n+1)(n+3)}

Bassteget

n=0p(0)=1=1n=0\Rightarrow p(0)=\sqrt{1}=1: är ett heltal.

Induktionssteget

p(n+1)-p(n)=...=2n+4p(n+1)-p(n)=...=2n+4 (heltal)

Alltså är:

p(1),p(2),...p(1),p(2),... heltal

Påståendet är sant även för negativa heltal eftersom:

p(n-1)-p(n)=-2n-2p(n-1)-p(n)=-2n-2

dioid 181
Postad: 30 aug 2020 12:36

Alternativt:

Du vill visa att för varje heltal n finns ett heltal k sådant att

1+n(n+1)(n+2)(n+3)=k2

Dvs

n(n+1)(n+2)(n+3)=k2-1=(k-1)(k+1)

Multiplicera de yttre och inre faktorerna i VL:

(n2+3n)(n2+3n+2)=(k-1)(k+1)

Så ser du att 

k=n2+3n+1

Som är ett heltal om n är heltal.

Svara Avbryt
Close