7 svar
136 visningar
Jaghatarfysik är nöjd med hjälpen
Jaghatarfysik 110
Postad: 20 okt 2023 10:19

Visa att W är ett delrum, och bestäm dimensionen

a) så jag vet att för att visa något är ett delrum behöver 

T(v + w) = T(v) + T(w) och T(L * v)=L*T(v) (då L är ett tal som tillhör reella tal)

men jag vet inte om man kan använda detta till denna uppgift. W är mängden n x m matriser... som betyder väl att kolonerna i W är baserna för delrummet? alltså spannet av delrummet. Hur ska jag visa att W är ett delrum av Mnm?

b) man bestämmer ju dimensionen av en matris genom att kolla hur många oberoende vektorer eller i detta fall oberoende matriser. Som jag vet använder man ekvationen Ax=0. går det att använda detta i uppgift b?

PATENTERAMERA 5571
Postad: 20 okt 2023 11:06

Det du anger på a) är ju definitionen av en linjär avbildning T.

Vad du behöver visa är att om A och B är godtyckliga matriser i W så ligger A + B och cA också i W. Då har du visat att W är ett delrum.

På b) skulle jag försöka hitta en bas för W. Dimensionen är ju antalet element i en bas. Jag skulle utgå från en bas för V och mha denna försöka konstruera en bas för W.

Jaghatarfysik 110
Postad: 20 okt 2023 13:02
PATENTERAMERA skrev:

Det du anger på a) är ju definitionen av en linjär avbildning T.

Vad du behöver visa är att om A och B är godtyckliga matriser i W så ligger A + B och cA också i W. Då har du visat att W är ett delrum.

På b) skulle jag försöka hitta en bas för W. Dimensionen är ju antalet element i en bas. Jag skulle utgå från en bas för V och mha denna försöka konstruera en bas för W.

jag förstår vad du menar med a, och har gjort det nu, tack för hjälpen

i b) uppgiften verkar det svårt att få fram en bas för W då W är alla n x m matriser A som uppfyller att range(A) är delrum av V eftersom W är oändligt många matriser

PATENTERAMERA 5571
Postad: 20 okt 2023 17:25

Jo, men tex 2 innehåller oändligt många vektorer men en bas för 2 består av endast två vektorer.

Mnm har dimensionen n x m. Eftersom W är ett delrum till Mnm så gäller det att dim(W)  n x m.

PATENTERAMERA 5571
Postad: 22 okt 2023 14:58

Hur går det med denna? Kommer du vidare?

En användbar observation är att en matris A ligger i W om och endast om varje kolonn i A ligger i V.

Jaghatarfysik 110
Postad: 22 okt 2023 20:56

Vet inte riktigt än hur jag ska lösa b frågan

D4NIEL 2653
Postad: 23 okt 2023 13:13 Redigerad: 23 okt 2023 13:41

Om W bara skulle bestå av alla n×mn\times m-matriser skulle dimensionen av W vara nmnm.

Är du med på det?

Om vi nu lägger på ett villkor, nämligen att matrisernas kolonnrum ska utgöra ett delrum av VV som har dimensionen kk förstår vi att dimensionen av kolonnrummet får vara maximalt kk. Matrisens rang får vara maximalt kk.

Men vi har fortfarande mm möjliga platser för kolonnerna. Alltså måste dimensionen vara kmkm.

PATENTERAMERA 5571
Postad: 24 okt 2023 00:48 Redigerad: 24 okt 2023 00:56

Jag vet inte om detta är ekvivalent med D4NIELS argumentation, men så här tänkte jag.

Låt b1, , bkvara en bas för V och inför ett antal matriser μi, j, 1im, 1jk (i Mnm), vilka definieras så att kolonn i hos μi, j är lika med bj och övriga kolonner är noll.

Med utgångspunkt i observationen i #5 så är det ganska lätt att se att dessa matriser spänner upp W, dvs varje matris i W kan skrivas som någon linjärkombination av ovan nämnda matriser. Jag lämnar det som en övning att visa att matriserna är linjärt oberoende och därför är de en bas för W. Antalet matriser är k·m så detta är dimensionen hos W.

Svara Avbryt
Close