Visa att (-x)(-y)=xy gäller för alla element x,y i en ring

Det borde räcka att visa att -1 kommuterar med alla element. Jag hoppas det gör det. Som du skriver så behöver xy inte vara lika med yx.

Det verkar som författaren menar kommutativa ringar. Kolla vad det står i definitionerna, om alla ringar förutsätts kommutativa eller liknande. Olika författare gör lite olika med sina definitioner. Men det ser lite konstigt ut, eftersom $(-x)(-y) = xy$ är sant i en generell, inte nödvändigtvis kommutativ, ring $R$:

Vi har att

$(-x)y = -xy$ för alla $x,y\in R$. (1)

Vi kan med ett symmetriskt argument även visa att

$x(-y) = -xy$ för alla $x,y\in R$, (2)

eftersom $(x(-y) + xy) = x(-y + y) = x0 = 0$.

Vi använder (1) med $x$ och $-y$ och får att $(-x)(-y) = -x(-y)$. Nu använder vi (2), och får att

$-x(-y) = -(-xy)$.

Men $-(-xy) = xy$, så $(-x)(-y) = xy$.

Vad konstigt då, för nä, "Also, it is not assumed that the $\times$ operation is commutative" står på samma sida där min bok definierar en ring.

Tack för att era två alternativ iallafall!