Visa att xsinx ej går mot oändligheten då x går mot oändligheten

Hitta en följd $x_n$ sådan att $x_n \sin(x_n) = 0$ för alla n och det gäller att $x_n \rightarrow \infty$ då $n \rightarrow \infty$.

Hej tack för svar! Hmm. Hur gör jag det? Kan du ge ett exempel?

Om du låter

$x_n = \pi n$

så kommer det vara uppfyllt.

 Jag har lite svårt för definitionen av gränsvärde. Jag tror jag förstår vad du menar, för x är godtyckligt och går mot oändligheten, då kan vi utan inskränkning anta att x=pi*n där x går mot oändligheten blir ekvivalent med att n går mot oändligheten. Men hur översätter jag detta så att det går att utnyttja i beviset?

Om det gäller att $x\sin(x) \rightarrow \infty$ så innebär detta att för alla M så existerar det ett N sådant att $x > N \Rightarrow xsin(x) > M$.

Därför kan vi säga att låt M = 1, så ska det existera ett N sådant att $x > N \Rightarrow xsin(x) > 1$. Kan du utnyttja följden jag skrev för att få ut en motsägelse här?

 Okej jag tror jag förstår, det vi vill visa är att det för godtyckliga x som växer mot oändligheten ska finnas ett B så att xsinx > A. På det sättet du visade så skulle det alltså kunna se ut $$\begin{gathered} x>B \Rightarrow x\sin x > A \\ välj A = 1 och sätt x = x_n=n\mathrm{\pi } \Rightarrow \\ \mathrm{n\pi }>\mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{n\pi sin}\left(\mathrm{n\pi }\right) > \mathrm{A} =1 \\ \mathrm{men} \mathrm{där} \sin \left(\mathrm{n\pi }\right) = 0 \forall \mathrm{n} \end{gathered}$$vilket leder till en motsägelse.

Har jag förstått detta rätt då? Att eftersom vi vill visa detta gränsvärde då x går mot oändligheten så kan vi utan inskränkning anta att x = pi*n och istället låta n gå mot oändligheten och få ett ekvivalent scenario. Eller?

Alltså ungefär på detta sätt $\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin x =\left\{\begin{array}{l}x = \mathrm{\pi n} \Rightarrow \mathrm{n} = \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{\pi }}\\ x \underset{}{\to \infty }\iff n\underset{}{\to }\infty \end{array}\right.=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{\pi nsin}\left(\mathrm{\pi n}\right)$

Ja, det låter väl på det hela tager korrekt. Poängen med att vi bara tar $n\pi$ blir ju för att vi ska hitta ett B sådant att $x\sin(x) > A$ för alla $x > B$, om vi då kan hitta ett x som är större än B men det  gäller inte att $x\sin(x) > A$ så har vi ju problem.

Så anledningen till att vi vill att $x_n$ växer mot oändligheten är ju för att då kommer vi inte kunna välja ett $B$ större än det största $x_n$, vilket skulle rendera följden som obsolet.

Samma här så vill vi ju at det ska gälla för alla A, så det räcker för oss att finna ett A då det inte fungerar.

Stokastisk skrev :

Poängen med att vi bara tar $n\pi$ blir ju för att vi ska hitta ett B sådant att $x\sin(x) > A$ för alla $x > B$, om vi då kan hitta ett x som är större än B men det  gäller inte att $x\sin(x) > A$ så har vi ju problem.

Nu börjar jag förstå tror jag. Men om det är så att vi ska visa att det gäller för alla x > B, och säger att x = n*pi, hur vet vi att det faktiskt gäller att n*pi > B?

Du vet att kommer finnas ett heltal som är större än B/pi helt enkelt. Så låter man n vara ett sådant heltal så får man ju att $n\pi > B$.

Okey!

Jag förstår nu, tror jag. Men det faktum att vi ansätter att $n >\frac{B}{\mathrm{\pi }}$ känns inte helt naturligt tycker jag. Men kan man helt enkelt i sitt bevis skriva detta som $vi vet att det \exists n\in \mathrm{\mathbb{N}} s.a. n >\frac{B}{\mathrm{\pi }}$?

För det vi säger egentligen är väl att det för alla A skall existera ett B, där detta B är ett ändligt tal, varför vi alltid kan hitta nästa "efterföljare till B" bland de naturliga talen så att olikheten är uppfylld.

Ja det är ju inte direkt en ansättning i regelrätt bemärkelse kanske, utan det är ju som du säger, vi vet att det existerar ett sådant n, så man skulle ju skriva det som du gjorde nu.

Okey vad bra, då vet jag. Tack för alla svar!

 En följdfråga:

I början av beviset antog jag att $\exists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x =0$, efter att jag kommit fram till motsägelsen i beviset så leder det till att jag därmed visat att $\nexists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x =0$, men innebär detta i sin tur att $\nexists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x =0 \Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x \ne 0$ , vilket ju var det jag skulle visa?

Jag förstår inte vad du menar med dina beteckningar faktiskt. Vad menar du med $\exists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0$?

Om jag skulle skriva beviset så skulle det ungefär låta såhär.

Om det gäller att $\lim_{x\rightarrow \infty} x\sin(x) = \infty$ så ska det existera ett B sådant att $\forall x > B \Rightarrow x\sin(x) > 1$ så vi antar att det existerar ett sådant.

Eftersom det nu existerar ett heltal $n > B/\pi$, vilket innebär att $n\pi > B$ och att vi har $n\pi \sin(n\pi) = 0 < 1$ så har vi en motsägelse. Alltså existerar inte ett sådant B och gränsvärdet kan inte vara $\infty$.

Med $\exists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x =0$ menar jag att det existerar ett gränsvärde och som dessutom är lika med 0. Men det är klart, om jag ska visa att gränsvärdet inte är oändligheten och gör det genom att anta motsatsen, för att sedan komma fram till en motsägelse så gäller ju alltså att gränsvärdet inte är oändligheten. Precis som du skrev.

Fast vad menar du med att det skulle existera ett gränsvärde som är lika med 0? Är det att det existerar en följd $x_n$ sådan att $\lim_{x\rightarrow \infty} x_n\sin(x_n) = 0$?

Jag ber så mycket om ursäkt. Jag höll på med en annan uppgift parallellt med denna, så jag råkade blandade ihop lite termer sinsemellan.

Jag menar att vi vill visa att $\exists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x \ne \infty$. Och när vi antar motsatsen så antar vi att $\exists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x =\infty$ vilket leder till en motsägelse. Jag tänkte först att detta i sin tur implicerade att $\nexists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x =\infty$, men att detta inte nödvändigtvis visar att $\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x \ne \infty$. Men jag inser nu när jag skriver detta att det inte spelar någon roll, jag antar att gränsvärdet är oändligheten i mitt motsägelsebevis, vilket leder till att jag visar att inte så är fallet.

Jag förstår fortfarande inte vad du menar med $\exists \underset{x\to \infty }{\lim }\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}\ne \infty$. Har du missat ett x också i uttrycket? Eller ska det bara vara $\sin(x)$?

Ja, det ska vara ett x med där också. Haha, det är fredag idag.

Jag känner att jag har koll på uppgiften i vilket fall, så jag tackar så mycket för all din hjälp!