Visa differentierbarhet

Hej! Jag har en fråga om jag visat att denna funktionen är differentierbar? Asså det tog ganska lång tid och jag undrar om det verkligen var rätt metod. Jag använde mig av

a=(a,b)=(1,-1)

x=a+h

y=b+k

$ρ (x, y)$ = $(\frac{h^{2} + 4 h k + 4 k^{2}}{\sqrt{h^{2} + k^{2}}})$ , täljaren (h² +4hk + 4k²) kommer efter (1+x+2y)² har beräknats och substituering har skett (x=a+h och y=b+k)

Så jag har ANTAGIT att vi kan skriva på denna formen (som jag antar är Taylorformeln med restterm av första grad, linjärt approximerat m.a.p 2 variabler):

f(a+h,b+k)=f(a,b) + f'_x(a,b)h + f'_y(a,b)k + R₁(a+h,b+k) = f(a,b) + Ah+ Bk + R₁(a+h,b+k)

Jag antar att vi får de olika termerna efter vi utvecklat f(x,y)?

Finns det andra sätt att visa differentierbarhet i denna punkt? Någon annan formeln? Funkar det om jag gör m.a.p på x och y respektive?

Edit: De menar nog genom definitionen för derivatan. Kolla om derivatan existerar så är den differentierbar då h --> 0. Men det fanns en sats i boken som sa att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara men det är väl fel för weierstrass funktioner är kontinuerliga men inte deriverbara eftersom den bara har hörn överallt och hörn kan man inte derivera eftersom man inte vet om derivatan är riktad snett nedåt/uppåt etc eller om lutningen är 0 så den är odefinierad. Kortsagt är inte satsen fel?

Svårt att följa din lösning. Har du utgått från definitionen?

f(x+h) - f(x) = Ah + ||h|| $ρ$ (h).

Vad blir A? Vad blir $ρ$ ?

Aa jag tror jag gjorde på det sättet men jag använde inte direkt den formeln. Kolla jag har lite svårt att holla koll på vilken definition man ska använda och när och hur många det finns, men dessa definitoner utgår väl från vilket grad Taylorpolynomet har/hur många variabler funktionen har. Så jag antar att om man har en funktion av 3 variabler så är det lättast att använda sig av taylorformeln. Med det sagt så blev jag lite förvirrad med sättet du skrev det på, tydligen så är Ah avbildningsmatrisen men jag valde att skriva så här i stället

f'_x(a,b)h+ f'_y(a,b)k (notera att h och k är skalärer och INTE vektorer), vilket kan skrivas som

Ah + Bk där

A=f'_x(a,b)

B=f'_y(a,b)

Men jag fick

ρ(h,k)= $(\frac{h^{2} + 4 h k + 4 k^{2}}{\sqrt{h^{2} + k^{2}}})$ , som går mot 0 då (h,k)--> 0 (efter lite att bryta ut ur rottecknet så att nämnare går mot infinity och hela uttrycket därmed går mot 0)

vi fick detta från att vi utvecklade f(a+h,b+k)=f(x,y) lättare att jobba med talparet (x,y) och substituera senare. I alla fall då a=1 och b=-1.

Aja jag fick att derivatorna i den punkten (1,-1) f'_x=f'_y=0 så nu har jag bevisat att derivatorna finns (tror jag) och att ρ(h,k) --> 0.

Är det rätt tänkt?

Hur visar du att uttrycket går mot noll?

PATENTERAMERA skrev:
Hur visar du att uttrycket går mot noll?

Hmm jag trodde att om man bröt ut h och k ur rottecknet så skulle det bli rätt men då får vi i täjlaren detta uttrycket $\frac{h}{k} + 4 + 4 * \frac{k}{h}$ , vilket känns svårt att hantera... Så... kanske gäller det att byta till polära koordinater?

Edit: Aa jag tror det funkade... Kolla:

h= $r * \cos θ$

k= $r * \sin θ$

Där vinkeln $θ$ är vinkeln mellan h och k;

substituera i uttrycket (använd trigettan också):

--> $\frac{r^{2} * \cos^{2} θ + 4 (r^{2} \cos θ \sin θ) + r^{2} \sin^{2} θ}{r} = r \cos^{2} θ + 4 r \cos θ \sin θ + r \sin^{2} θ$

Och om (h,k) --> 0 så går r mot 0 (antar jag) och därmed går $ρ (h, k)$ , också mot 0... det kanske går att använda instängningssatsen också! (eller kanske också triangelolikhet) idk...

Ok är det rätt tänkt nu?

Ja, det ser rätt ut.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, det ser rätt ut.

Svara

Visa senaste svar