5 svar
54 visningar
Noawoh 75
Postad: 14 okt 2020 Redigerad: 14 okt 2020

Visa genom att utgå från derivatans definition att funktionen f(x)=x⋅g(x) har derivatan...

Uppgift: Visa genom att utgå från derivatans definition att funktionen f(x)=x⋅g(x) har derivatan
f′(x)=x⋅g′(x)+g(x)

 

Hej, sitter lite fast här. Jag vet derivatans definition, och med den fick jag fram detta:

  • limh0f(x+h)-f(x)h=limh0(x+h)*g(x+h)-x*g(x)h

 

Men härifrån har jag absolut ingen aning hur jag kan fortsätta. Jag vet ju inte vad g(x) är..

Tacksam för svar!

Albiki 5078
Postad: 14 okt 2020 Redigerad: 14 okt 2020

Hej,

Addera och subtrahera x·g(x+h)x\cdot g(x+h) i täljaren för att få

    (x+h)g(x+h)-xg(x+h)+xg(x+h)-xg(x)=hg(x+h)+x·(g(x+h-g(x)))(x+h)g(x+h)-xg(x+h)+xg(x+h)-xg(x) = hg(x+h)+x\cdot(g(x+h-g(x)))

vilket ger kvoten 

    (x+h)g(x+h)-xg(x)h=hg(x+h)+x·{g(x+h)-g(x)}h=g(x+h)+x·g(x+h)-g(x)h.\displaystyle\frac{(x+h)g(x+h)-xg(x)}{h} = \frac{hg(x+h)+x\cdot\{g(x+h)-g(x)\}}{h} = g(x+h)+x\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}.

Noawoh 75
Postad: 14 okt 2020

Hänger tyvär inte med riktigt. Går lite för snabbt, varför x*g(x+h), och inte (x+h)g(x+h)? Varför subtraherar och adderar man överhuvudtaget i täljaren, ändrar inte det bråket helt om man inte gör något i nämnaren också?  

Albiki 5078
Postad: 14 okt 2020
Noawoh skrev:

Hänger tyvär inte med riktigt. Går lite för snabbt, varför x*g(x+h), och inte (x+h)g(x+h)? Varför subtraherar och adderar man överhuvudtaget i täljaren, ändrar inte det bråket helt om man inte gör något i nämnaren också?  

Täljaren ändras inte eftersom det man gör är att addera talet 0.

Noawoh 75
Postad: 14 okt 2020

Har inte stött på en sånhär uppgift innan så förklara gärna steg för steg vad du gör och varför du gör det (ditt första svar), så jag verkligen begriper. Du sa addera och subtrahera x*g(x+h), men varför? Då ändras väl ingenting, det är väl som att addera 1 och sedan subtrahera 1. Eller har jag missförstått? Och varför just x*g(x+h)? Är heeelt borta

oneplusone2 444
Postad: 14 okt 2020

limh->0(x+h)g(x+h)-xg(x)h(x+h)g(x+h)-xg(x)h=xg(x+h)+hg(x+h)-xg(x)h=x[g(x+h)-g(x)]+hg(x+h)h=x[g(x+h)-g(x)]h+hg(x+h)h=x[g(x+h)-g(x)]h+g(x+h)limh->0(x+h)g(x+h)-xg(x)h=limh->0 x*[g(x+h)-g(x)]h+g(x+h)=xg'(x)+g(x)

 

Det enda som används är basic matte utan några särskilda trick. Det som är lite ovanligare i den här uppgiften är att det derivatan för g finns gömd i uppgiften.

Svara Avbryt
Close