Visa kvadreringsidentitet för primtal som är 1 mod 4

Hej! Jag skulle vilja ha lite hjälp på b) delen av denna fråga:
Mina tankar hittils (jag kommer använda engelska begrepp)

Vi har att $\mathbb Z[i]/\langle p \rangle \cong \mathbb F_p[X]/\langle X^2+1\rangle$ inte är ett field då $X^2+1$ är reducible (exempelvis $c^2+1=0$).  Därmed är $\langle p \rangle$ inte maximal och då $\mathbb Z[i]$ är ett PID följer det att $p$ är reducible. Vi kan skriva $p=zw$, men $w=\bar z$ då $p$ reellt. Därmed kan $p$ skrivas som $p=z\bar z$ för något $z\in \mathbb Z[i]$.

Med hjälp av den multiplikativa normfunktionen $N:\mathbb Z[i]\to \mathbb N, x+yi \mapsto x^2+y^2$ får vi att $N(z)=p$ och då $a+bi | p$ får vi att $a^2+b^2|p^2 \implies a^2+b^2\in\{1,p,p^2\}$. Vårt mål blir därmed att visa att två av dessa tre fall är omöjliga. Fallet $a^2+b^2=p^2$ har jag visat, däremot har jag inte kommit på något bra sätt att utesluta $a^2+b^2=1$. Om vi antar $a^2+b^2=1$ får vi direkt att $a+bi\in {1,-1,i,-i\}$ men alla innebär samma sak då alla är units i $\mathbb Z[i]$, att $p$ och $c+i$ är relativt prima. 

Det skulle räcka att visa att det finns en icke-trivial gemensam delare till $p$ och $c+i$ för att utesluta fallet $a^2+b^2=1$. Den enda rimliga kandidaten för detta är $z$. Min tanke fär att visa detta:

Vi har $N(c+i)=c^2+1 \equiv 0 \pmod p$ och då $\mathbb Z[i]$ är ett UFD så kan vi faktorisera $c+i=q_1\cdots q_m$ där $q_i$ är irreducible. Jag tror att en av dessa $q_i$ måste ha norm $p$. Om det skulle stämma måste man slutligen visa att $q_i$ är associated med antingen $z$ eller $\bar z$, från vilket vi skulle bli helt klara. 

Några andra ideer på hur man kan gå till väga eller vägledning med det jag tänkt hittils?