Visa med induktion att olikheten gäller...

Man kan absolut visa detta med att kolla på funktioner. Många olikheter kan visas på det sättet. Jag tycker inte facit har en särskilt bra lösning. En lösning jag tycker om (skippar basfallet)

Vi antar att vi har något heltal $p>4$ där olikheten gäller. Alltså har vi att

$3^p>p^3$

Nu vill vi visa att från detta antagande följer det att 

$3^{p+1}>(p+1)^3$

Vi börjar med högerledet och idén är att vi ska göra det mindre och mindre, tills vi får vänsterledet.

Från antagandet har vi att

$3^{p+1} = 3\cdot 3^p > 3p^3$

Härefter kan vi notera att eftersom $p>4$ kan vi göra uttrycket $p^3$ mindre genom att ersätta ett $p$ med 4. Detta ger oss att

$p^3 > 4p^2 > 3p^2$. 

Vi kan göra en liknande del där vi ersätter 2st $p$ med 4:

$p^3 > 16p = 3p + 15p > 3p+1$

Nu kommer vi ihåg att

$3^{p+1} > 3p^3 = p^3 + p^3 + p^3$

Och ersätter det andra $p^3$ med vår första olikhet och det tredje $p^3$ med vår andra olikhet, vilket gör uttrycket mindre. 

Alltså är 

$p^3 + {\color{red}p^3} + {\color{blue}p^3} > p^3 + {\color{red}3p^2} + {\color{blue}3p + 1} = (p+1)^3$ 

och där är induktionssteget visat. 

Jag försöker förstå din metod, jag har sett att andra använder s.k. "ersättningar". Men hur kan du t.ex. fram till att p^3 > 4p^2 för p>4?

Anonym_15 skrev:

Jag försöker förstå din metod, jag har sett att andra använder s.k. "ersättningar". Men hur kan du t.ex. fram till att p^3 > 4p^2 för p>4?

Då p^2(p-4)>0 för p>4 har vi att p^3-4p2>0 för p>4 vilket ger p^3>4p2