Visa olikhet m.h.a restterm

Det var bra start. Notera dock att det är $\theta$ som ligger mellan 0 och 1 (d.v.s. inte $\theta x$ som du skrivit alldeles i slutet). Det återstår att visa att $\left| \dfrac{\theta x}{(1+(\theta x)^2)^2} x^2 \right| \le  \dfrac{3 \sqrt{3}}{16} x^2$.

Eftersom $x^2 \ge 0$, så kan $x^2$ förkortas i olikheten, så man behöver visa "bara" att $\left| \dfrac{\theta x}{(1+(\theta x)^2)^2} \right| \le  \dfrac{3 \sqrt{3}}{16}$.

Eftersom olikheten ska gälla för alla möjliga värden på $x$ och $\theta$, så kan man byta ut $\theta x$ mot $t$ och undersöka uttrycket $f\left(t\right) = \dfrac{t}{(1+t^2)^2}$ med $t \in \mathbb{R}$.

Vad är det största värdet av denna funktion? Vad är det minsta värdet? Bestäm värdemängden av $f\left(t\right) = \dfrac{t}{(1+t^2)^2}$ för att ta reda på varifrån $3 \sqrt{3} / 16$ kommer.