15 svar
104 visningar
Dualitetsförhållandet 528
Postad: 15 okt 2020

Visa olikheten

Antar att jag behöver göra någon omskrivning, men vet inte vilken. Tips?

Albiki 4788
Postad: 15 okt 2020

Hej,

Prova

(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)...(1-1/(2n))

och att logaritmera produkten.

Vad kan du säga om ln(1-x) då x är liten? Jämför summan med en lämplig Riemannsumma.

SvanteR Online 2140
Postad: 15 okt 2020

Induktionsbevis funkar, men det kanske finns andra lättare sätt också!

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 15 okt 2020
Albiki skrev:

Hej,

Prova

(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)...(1-1/(2n))

och att logaritmera produkten.

Vad kan du säga om ln(1-x) då x är liten? Jämför summan med en lämplig Riemannsumma.

Har inte lärt mig vad Riemannsumma är

Albiki 4788
Postad: 15 okt 2020 Redigerad: 15 okt 2020

Logaritmering av produkten PP ger 

    lnP=ln(1-12)+ln(1-14)++ln(1-12n).\displaystyle \ln P=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{4})+\cdots+\ln(1-\frac{1}{2n}).

För logaritmfunktionen gäller olikheten ln(1-x)-x\ln (1-x) \leq -x där 0<x<10<x<1 vilket ger

    lnP-12(1+12+13++1n).\displaystyle \ln P \leq -\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}).

För produkten motsvaras det av

    P1e1+12+13++1n\displaystyle P \leq \frac{1}{\sqrt{e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}}}

Undersök nu om

    e1+12+13++1n1+3n.\displaystyle e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}} \geq 1+3n.

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 17 okt 2020
Albiki skrev:

Logaritmering av produkten PP ger 

    lnP=ln(1-12)+ln(1-14)++ln(1-12n).\displaystyle \ln P=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{4})+\cdots+\ln(1-\frac{1}{2n}).

För logaritmfunktionen gäller olikheten ln(1-x)-x\ln (1-x) \leq -x där 0<x<10<x<1 vilket ger

    lnP-12(1+12+13++1n).\displaystyle \ln P \leq -\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}).

För produkten motsvaras det av

    P1e1+12+13++1n\displaystyle P \leq \frac{1}{\sqrt{e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}}}

Undersök nu om

    e1+12+13++1n1+3n.\displaystyle e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}} \geq 1+3n.

lite långsökt lösning

Albiki 4788
Postad: 17 okt 2020
Dualitetsförhållandet skrev:
Albiki skrev:

Logaritmering av produkten PP ger 

    lnP=ln(1-12)+ln(1-14)++ln(1-12n).\displaystyle \ln P=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{4})+\cdots+\ln(1-\frac{1}{2n}).

För logaritmfunktionen gäller olikheten ln(1-x)-x\ln (1-x) \leq -x där 0<x<10<x<1 vilket ger

    lnP-12(1+12+13++1n).\displaystyle \ln P \leq -\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}).

För produkten motsvaras det av

    P1e1+12+13++1n\displaystyle P \leq \frac{1}{\sqrt{e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}}}

Undersök nu om

    e1+12+13++1n1+3n.\displaystyle e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}} \geq 1+3n.

lite långsökt lösning

En dryg kommentar.

Laguna Online 10959
Postad: 17 okt 2020

Har du provat induktionsbevis?

Riemannsumma känner du för övrigt till, men den kanske inte presenteras med det namnet. Slå upp det. 

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 18 okt 2020
Laguna skrev:

Har du provat induktionsbevis?

Riemannsumma känner du för övrigt till, men den kanske inte presenteras med det namnet. Slå upp det. 

Hej Laguna, har prövat induktionsbevis såhär:

Basfall:

n=11213n+1

Induktionsantagande: gäller för något k=n. Vill nu visa att det gäller k=n+1:

12×34......2n-12n×2(n+1)-12(n+1)13n+1×2(n+1)-12(n+1)

Nu vill jag visa att det här är mindre än eller lika med 13(n+1)+1, men har ingen aning om hur jag gör.

Standardknepet när man vill bli av med rötter i nämnaren är att multiplicera med konjugatet. Har du kollat om det är en framkomlig väg? (Jag har inte kollat.)

Laguna Online 10959
Postad: 18 okt 2020

Det är bara att kvadrera, förenkla och förenkla mera.

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 18 okt 2020
Smaragdalena skrev:

Standardknepet när man vill bli av med rötter i nämnaren är att multiplicera med konjugatet. Har du kollat om det är en framkomlig väg? (Jag har inte kollat.)

Kan inte se något sätt då det skulle fungera

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 18 okt 2020
Laguna skrev:

Det är bara att kvadrera, förenkla och förenkla mera.

Kvadrera det jag har kommit fram till?

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 18 okt 2020

om jag kvadrerar det jag har kommit fram till får jag:

(2n+1)2(3n+1)(2n+2)2=4n2+4n+1(12n3+28n2+20n+4)

Laguna Online 10959
Postad: 18 okt 2020

Du vill jämföra detta med kvadraten av 13(n+1)+1\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}.

Dualitetsförhållandet 528
Postad: 18 okt 2020
Laguna skrev:

Du vill jämföra detta med kvadraten av 13(n+1)+1\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}.

Kvadraten av

 13(n+1)+1 är 13(n+1)+12=13n+4=4n2+4n+112n3+28n2+19n+44n2+4n+112n3+28n2+20n+4

V.S.V

Tack för hjälpen alla!

Svara Avbryt
Close