Visa olikheten

Hej,

Prova

(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)...(1-1/(2n))

och att logaritmera produkten.

Vad kan du säga om ln(1-x) då x är liten? Jämför summan med en lämplig Riemannsumma.

Induktionsbevis funkar, men det kanske finns andra lättare sätt också!

Albiki skrev:

Hej,

Prova

(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)...(1-1/(2n))

och att logaritmera produkten.

Vad kan du säga om ln(1-x) då x är liten? Jämför summan med en lämplig Riemannsumma.

Har inte lärt mig vad Riemannsumma är

Logaritmering av produkten $P$ ger 

    $\displaystyle \ln P=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{4})+\cdots+\ln(1-\frac{1}{2n}).$

För logaritmfunktionen gäller olikheten $\ln (1-x) \leq -x$ där $0<x<1$ vilket ger

    $\displaystyle \ln P \leq -\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}).$

För produkten motsvaras det av

    $\displaystyle P \leq \frac{1}{\sqrt{e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}}}$

Undersök nu om

    $\displaystyle e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}} \geq 1+3n.$

Albiki skrev:

Logaritmering av produkten $P$ ger 

    $\displaystyle \ln P=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{4})+\cdots+\ln(1-\frac{1}{2n}).$

För logaritmfunktionen gäller olikheten $\ln (1-x) \leq -x$ där $0<x<1$ vilket ger

    $\displaystyle \ln P \leq -\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}).$

För produkten motsvaras det av

    $\displaystyle P \leq \frac{1}{\sqrt{e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}}}$

Undersök nu om

    $\displaystyle e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}} \geq 1+3n.$

lite långsökt lösning

Dualitetsförhållandet skrev:

Albiki skrev:

Logaritmering av produkten $P$ ger 

    $\displaystyle \ln P=\ln(1-\frac{1}{2})+\ln(1-\frac{1}{4})+\cdots+\ln(1-\frac{1}{2n}).$

För logaritmfunktionen gäller olikheten $\ln (1-x) \leq -x$ där $0<x<1$ vilket ger

    $\displaystyle \ln P \leq -\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}).$

För produkten motsvaras det av

    $\displaystyle P \leq \frac{1}{\sqrt{e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}}}$

Undersök nu om

    $\displaystyle e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}} \geq 1+3n.$

lite långsökt lösning

En dryg kommentar.

Har du provat induktionsbevis?

Riemannsumma känner du för övrigt till, men den kanske inte presenteras med det namnet. Slå upp det. 

Laguna skrev:

Har du provat induktionsbevis?

Riemannsumma känner du för övrigt till, men den kanske inte presenteras med det namnet. Slå upp det. 

Hej Laguna, har prövat induktionsbevis såhär:

Basfall:

$$\begin{gathered} n=1 \\ \frac{1}{2}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \end{gathered}$$

Induktionsantagande: gäller för något k=n. Vill nu visa att det gäller k=n+1:

$\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}......\frac{2n-1}{2n}\times \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\times \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$

Nu vill jag visa att det här är mindre än eller lika med $\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}$, men har ingen aning om hur jag gör.

Standardknepet när man vill bli av med rötter i nämnaren är att multiplicera med konjugatet. Har du kollat om det är en framkomlig väg? (Jag har inte kollat.)

Det är bara att kvadrera, förenkla och förenkla mera.

Smaragdalena skrev:

Standardknepet när man vill bli av med rötter i nämnaren är att multiplicera med konjugatet. Har du kollat om det är en framkomlig väg? (Jag har inte kollat.)

Kan inte se något sätt då det skulle fungera

Laguna skrev:

Det är bara att kvadrera, förenkla och förenkla mera.

Kvadrera det jag har kommit fram till?

om jag kvadrerar det jag har kommit fram till får jag:

$\frac{{(2n+1)}^2}{(3n+1){(2n+2)}^2}=\frac{4n^2+4n+1}{(12n^3+28n^2+20n+4)}$

Du vill jämföra detta med kvadraten av $\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}$.

Laguna skrev:

Du vill jämföra detta med kvadraten av $\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}$.

Kvadraten av

 $$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} är {\left(\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}\right)}^2=\frac{1}{3n+4}=\frac{4n^2+4n+1}{12n^3+28n^2+19n+4}\ge \\ \ge \frac{4n^2+4n+1}{12n^3+28n^2+20n+4} \end{gathered}$$

V.S.V

Tack för hjälpen alla!