4 svar
68 visningar
destiny99 behöver inte mer hjälp
destiny99 8004
Postad: 10 nov 11:45

Visa olikheterna för x>0

Jag fastnade på denna fråga under en tenta för några veckor sen och kommer inte längre än såhär justnu.

D4NIEL 2942
Postad: 10 nov 15:21 Redigerad: 10 nov 15:25

Taylorutvecklingen av ln(1+x)\ln(1+x) upp till grad 3 kan skrivas som:

ln1+x=x-x22+x33-x44(1+θx)\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4(1+\theta x)}

Där den sista termen, som vi kan kalla R4(x)R_4(x), är en så kallad felterm med 0<θ<10 < \theta < 1.

Vi kan också utveckla till grad 4 plus en felterm R5(x)R_5(x) så här

ln1+x=x-x22+x33-x44+x55(1+θx)\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5(1+\theta x)}

där vi återigen använder 0<θ<10 < \theta < 1.

För feltermen gäller bland annat att

Rn+1x<|x|n+1n+1\displaystyle \left|R_{n+1}\left(x\right)\right|<\frac{|x|^{n+1}}{n+1}x>0x>0.

destiny99 8004
Postad: 10 nov 15:56
D4NIEL skrev:

Taylorutvecklingen av ln(1+x)\ln(1+x) upp till grad 3 kan skrivas som:

ln1+x=x-x22+x33-x44(1+θx)\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4(1+\theta x)}

Där den sista termen, som vi kan kalla R4(x)R_4(x), är en så kallad felterm med 0<θ<10 < \theta < 1.

Vi kan också utveckla till grad 4 plus en felterm R5(x)R_5(x) så här

ln1+x=x-x22+x33-x44+x55(1+θx)\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5(1+\theta x)}

där vi återigen använder 0<θ<10 < \theta < 1.

För feltermen gäller bland annat att

Rn+1x<|x|n+1n+1\displaystyle \left|R_{n+1}\left(x\right)\right|<\frac{|x|^{n+1}}{n+1}x>0x>0.

Men vad ska vi göra i denna fråga? Det står verkligen still i mitt huvud justnu. Vad har resttermen med detta att göra? 

D4NIEL 2942
Postad: 10 nov 17:03

Planen är att använda Taylorutvecklingar av funktionen ln(1+x)\ln(1+x) för att lättare kunna jämföra funktionen med vänster- respektive höger sida om olikheten. En felterm eller restterm (ibland Lagrange Restterm), Rn(x)R_n(x), berättar hur stort felet blir när man trunkerar serien. Genom att använda olika trunkeringar n=3n=3 och n=4n=4 kan vi på ett enkelt sätt visa olikheterna.

Börja med att repetera avsnittet om Taylorutvecklingar och felet/resttermen i boken. Försök sedan göra ett par taylorutvecklingar, inklusive en feluppskattning / restterm.

destiny99 8004
Postad: 10 nov 17:28 Redigerad: 10 nov 17:38
D4NIEL skrev:

Planen är att använda Taylorutvecklingar av funktionen ln(1+x)\ln(1+x) för att lättare kunna jämföra funktionen med vänster- respektive höger sida om olikheten. En felterm eller restterm (ibland Lagrange Restterm), Rn(x)R_n(x), berättar hur stort felet blir när man trunkerar serien. Genom att använda olika trunkeringar n=3n=3 och n=4n=4 kan vi på ett enkelt sätt visa olikheterna.

Börja med att repetera avsnittet om Taylorutvecklingar och felet/resttermen i boken. Försök sedan göra ett par taylorutvecklingar, inklusive en feluppskattning / restterm.

Så uppgiften är att taylorutveckla med felterm högre än tex x^4 samt x^3 ?   jag har inga problem med att ta fram taylorpolynom samt använda resttermen.

Svara
Close