4 svar
79 visningar
Jaghatarfysik är nöjd med hjälpen
Jaghatarfysik 110
Postad: 20 okt 2023 10:36

visa om en matris är inverterbar samt om matrisen är expansiv

a) Jag har tänkt så här, för att i uppgiften står det att vektornerna x är nollskilda i Rn, vilket betyder att x är eigen vektorerna. Så om x är ett eigenvektor så kan eigenvärdet till x vara 1. så låt 1 vara eigenvärdet och eigenvektorn vara en enhetsvektor. detta medför att llA*1ll > ll 1 ll enligt uppgiften men detta stämmer inte därmed så kan A-In inverteras eller har jag fel?

b)om en A är expansiv menar de att eigenvärden inte kan vara 1, eftersom om eigenvektorn norm är lika med ett så betyder det att llAxll = llxll vilket inte går om A ska vara expansiv. det stämmer väl?

c) ingen aning hur jag ska börja.

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 20 okt 2023 11:26

a)
Om vi har en matris A vars alla egenvärden är >1. Detta betyder att det(A-λIn)=p(λ) =0 (*) karakteristiska ekvationen har endast lösningar som är >1, dvs λi>1    för alla 1<in

Om vi kollar nu på karakteristiska polynomet för matrisen A-In, dvs det(A-In-λ'In)=det(A-(λ'+1)In)=               p(λ'+1).

p(λ)=0  har lösningar där λ>1 vilket betyder att p(λ'+1)=0 har lösningar där λ'+1>1vilket betyder att λ'>0.

Vi har visat att matrisen A-I har nollskilda egenvärden, vilket betyder att den är inverterbar.

b) är en direkt resultat av a). Expansiv matris har egenvärden >1.

Jaghatarfysik 110
Postad: 20 okt 2023 13:25
Mohammad Abdalla skrev:

a)
Om vi har en matris A vars alla egenvärden är >1. Detta betyder att det(A-λIn)=p(λ) =0 (*) karakteristiska ekvationen har endast lösningar som är >1, dvs λi>1    för alla 1<in

Om vi kollar nu på karakteristiska polynomet för matrisen A-In, dvs det(A-In-λ'In)=det(A-(λ'+1)In)=               p(λ'+1).

p(λ)=0  har lösningar där λ>1 vilket betyder att p(λ'+1)=0 har lösningar där λ'+1>1vilket betyder att λ'>0.

Vi har visat att matrisen A-I har nollskilda egenvärden, vilket betyder att den är inverterbar.

b) är en direkt resultat av a). Expansiv matris har egenvärden >1.

Tack så mycket för svaret!

hur kom ni fram till att använda er av p(landa) = 0?,

jag själv kan komma på det där med det(A - Landa * In) = 0 men förstår inte hur ni kunde komma på att använda er av p(landa) = det(A - Landa * In) = 0, därmed då matrisen är A - In => det(A-In - landa * In) = 0 => det(A - (landa + 1)In)=0 => p(landa + 1) = 0 eftersom landa(start) > 1 i första delen betyder det att landa + 1 > 1 => landa >0. 

varför betyder att om en matris har nollskilda egenvärden att den är inversbar?

Förstod jag rätt att man kan svara på b och a frågan samtidigt?

Mohammad Abdalla 1349
Postad: 20 okt 2023 16:45

Jag använde mig av p(λ) eftersom man vet att λ>1. 

Om en matris A har egenvärde λ=0, betyder det att det(A-0I)=0, alltså det(A)=0 vilket betyder att A inte är inverterbar.

Jaghatarfysik 110
Postad: 20 okt 2023 17:04
Mohammad Abdalla skrev:

Jag använde mig av p(λ) eftersom man vet att λ>1. 

Om en matris A har egenvärde λ=0, betyder det att det(A-0I)=0, alltså det(A)=0 vilket betyder att A inte är inverterbar.

Yes! 

Fattar nu, tack så mycket för hjälpen!

Svara Avbryt
Close