Volym

Ett sätt att tolka värdet av determinanten $\det T$ av en linjär avbildning $T$ är just som den volym (med tecken som beror på om $T$ behåller orienteringen eller ej) en enhetskub får om den avbildas med $T$. Det är ett användbart perspektiv att ha i åtanke. Till exempel är determinanten lika med noll om och endast om kuben (eller mer generellt, $n$-kuben) blir "tillplattad" i någon dimension. Det betyder att bilden av $T$ inte är fullt $m$-dimensionell (om bildrummet är $m$-dimensionellt); exempelvis skulle $T$ kunna vara någon sorts projektion. (För alla projektioner $P$ gäller nämligen att $\det P = 0$.)

Mer generellt kan värdet $\det T$ tolkas geometriskt som en skalfaktor som anger hur areor eller volymer förändras under avbildningen $T$, vilket är den karakterisering facit använder. Det är antagligen något ni bara får använda i uppgiften utan att manuellt behöva beräkna volymen av parallellepipeden $T(K)$.

Gustor skrev:

Ett sätt att tolka värdet av determinanten $\det T$ av en linjär avbildning $T$ är just som den volym (med tecken som beror på om $T$ behåller orienteringen eller ej) en enhetskub får om den avbildas med $T$. Det är ett användbart perspektiv att ha i åtanke. Till exempel är determinanten lika med noll om och endast om kuben (eller mer generellt, $n$-kuben) blir "tillplattad" i någon dimension. Det betyder att bilden av $T$ inte är fullt $m$-dimensionell (om bildrummet är $m$-dimensionellt); exempelvis skulle $T$ kunna vara någon sorts projektion. (För alla projektioner $P$ gäller nämligen att $\det P = 0$.)

Mer generellt kan värdet $\det T$ tolkas geometriskt som en skalfaktor som anger hur areor eller volymer förändras under avbildningen $T$, vilket är den karakterisering facit använder. Det är antagligen något ni bara får använda i uppgiften utan att manuellt behöva beräkna volymen av parallellepipeden $T(K)$.

fast ska man på uppgiften ta fram bilderna av vektorerna <1,0,0>, <0,1,0> och <0,0,1> och sedan räkna ut volymen av den parallelepiped som bilderna spänner upp? det var så jag tolkade uppgiften och fick svaret till detA men är osäker på huruvida det är det som uppgiften vill

Som jag skrev så får du antagligen använda faktumet att talet $|\det A|$ är skalfaktorn för volymförändring hos avbildningen som ges av $A$ så som facit gör. Det går såklart också att beräkna volymen genom att använda formeln bas gånger höjd för parallelepipeden som spänns upp av $Ae_1,Ae_2,Ae_3$, för standardbasen $\{e_1,e_2,e_3\}$ så som du skriver. Då får du också volymen 5 om du gjort beräkningarna korrekt. Men jag tvivlar starkt på att det är det så den som konstruerat uppgiften har tänkt. Det är inte fel dock, åtminstone inte i mina ögon. Bara lite omständligt.

Gustor skrev:

Som jag skrev så får du antagligen använda faktumet att talet $|\det A|$ är skalfaktorn för volymförändring hos avbildningen som ges av $A$ så som facit gör. Det går såklart också att beräkna volymen genom att använda formeln bas gånger höjd för parallelepipeden som spänns upp av $Ae_1,Ae_2,Ae_3$, för standardbasen $\{e_1,e_2,e_3\}$ så som du skriver. Då får du också volymen 5 om du gjort beräkningarna korrekt. Men jag tvivlar starkt på att det är det så den som konstruerat uppgiften har tänkt. Det är inte fel dock, åtminstone inte i mina ögon. Bara lite omständligt.

Tack!