Volym

Hej, vi ska lösa systemet för att hitta vektorene. Men jag vet inte hur vi ska lösa den 

Kan någon hjälpa mig 

Du får många olika ekvationssystem. Börja med översta talet i varje vektor. Då vet vi att u + 2v =1, v + 2w = 0, och 2u+w=11. Sen likadant för mitten och understa talet.

hej, och tack för svar 

betyder detta att vi får 3 ekvation system som vi måste lösa var för sig

Ja, det kanske finns något smidigare sätt men jag kommer inte på det isf.

Jag antar att vi ska beräkna volymen av parallellepipeden, $u\cdot(v\times w)$.

Det är samma sak som $\det[u,v,w]$

En determinant ändras inte om man till elementen i en viss rad/kolonn i ordning adderar elementen i en annan rad/kolonn multiplicerat med en konstant $c$.

$\det[u,v,w]=\det[u+2v,v+2w,w]$

Nu är vi nästan framme, men för att uttrycka den sista kolonnen (2u+w) behöver vi bilda $2(u+2v)-4(v+2w)+9w$. Vi börjar med att bilda 9w.

Om alla element i en rad eller en kolonn multipliceras med en konstant $c$ så multipliceras determinanten med $c$

$\det[u+2v,v+2w,w]=\frac{1}{9}\det[u+2v,v+2w,w,9w]=\frac{1}{9}\det[u+2v,v+2w,2(u+2v)-4(v+2w)+9w]$

$\displaystyle \det[u,v,w]=\frac{1}{9}\det[u+2v,v+2w,2u+w]=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{rrr}1&0&11\\2&-1&-1\\3&-1&-8\end{array}\right|=\frac{1}{9}\cdot 18=2$

Ett mindre elegant men kanske mer pedagogiskt sätt att angripa uppgiften är att lösa ett ekvationssystem.

Det enda vi är intresserade av är att uttrycka u,v och w i linjärkombinationer av $f_1=(1,2,3)$, $f_2=(0,-1,-1)$ och $f_3=(11,-1,-8)$

Ekvationssystemet ser då ut så här:

$u+2v+0w=f_1$

$0u+v+2w=f_2$

$2u+0v+w=f_3$

Det har totalmatrisen

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&0& f_1\\0&1&2&f_2\\2&0&1&f_3\end{array}\right]$

Nu kan vi låtsas att u,v och w bara är okända variabler, samt att $f_n$ är kända tal, vi behöver  inte betrakta det som vektorer. Med  gausselimination på sedvanligt vis hittar vi lösningarna. Exempel

$w=\frac{1}{9}(-2 f_1 + 4 f_2 + f_3)=(1,-1-2)$

Jroth verkar ha fått några felmeddelanden i sina svar, så jag fyller på.

Men som han säger så kan vi komma farm till u v w genom att  kombinera den informationen som uppgiften ger oss. Att addera olika vektorers komposanter ger samma slutresultat som om vi hade adderat "totalvektorerna". I den här uppgiften kan vi tex betrakta  u och 2v som komposanter till vektorn (1,2,3). Om man vill göra det hela mer kompakt så skriv uppgiften så här

$\begin{array}{cccccc}u& +& 2v& & & =r\\ & & v& +& 2w& =s\\ 2u& & & +& w& =t\end{array}$

där då tex r=(1,2,3). Sedan guassar du systemet som om det vore tal. Målet med gaussningen är att eliminera så att antingen u,v, eller w står självt på en rad, uttryckt som någon kombination av r,s,t.

En fiffig uppgift för övrigt tycker jag.

oneplusone2 skrev:

Jroth verkar ha fått några felmeddelanden i sina svar, så jag fyller på.

Wut, på min setup ser latexen finfin  ut! Kan du bifoga skärmdump?

Edit: Jag använder iofs inlägg som förhandsgranskning för latexen och editerar i efterhand, men ditt inlägg ligger 8h efter.

Jroth skrev:

oneplusone2 skrev:

Jroth verkar ha fått några felmeddelanden i sina svar, så jag fyller på.

Wut, på min setup ser latexen finfin  ut! Kan du bifoga skärmdump?

Edit: Jag använder iofs inlägg som förhandsgranskning för latexen och editerar i efterhand, men ditt inlägg ligger 8h efter.

Det ser fint ut nu.