Volym av rotationskopp

Uppgift:

Området givet av $0 \leq y \leq \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ och $1 \leq x \leq 2$ roteras kring x-axeln. Beräkna rotationskroppens
volym.

Del av lösning:

Låt $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ .

$\Rightarrow V = \int_{1}^{2} π \cdot f (x)^{2} dx = π \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2} + x} dx = π \int_{1}^{2} \frac{1}{x (x + 1)} dx$ .

Hur kommer man fram till detta? Jag vet att arean som bildas av linjen f(x) och x-axeln i det givna intervallet är $\int_{1}^{2} f (x) d x$ , men varför får man volymen av rotationskroppen genom formeln ovan? Kanske har jag missat någon formel, för jag kan inte se hur man kommer fram till det.

Edit: Jag har försökt att jämföra med förhållandet mellan area och rotationsvolym av andra geometriska standardfigurer utan framgång.

Rita en figur.

När grafen till f(x) roteras kring x-axeln så bildas en rotationskropp. För att beräkna volymen av denna delar man in kroppen i tunna cirkulära skivor som alla har x-axeln som medelpunkt.

Dessa skivor har en radie r som beror av var på x-axeln skivan är. Vi har att r = r(x) = f(x).

Varje skiva har en area som är $\pi r^2=\pi \cdot (f(x))^2$ .

Varje skiva har en tjocklek som är dx.

Varje skiva ger alltså ett volymsbidrag som är $\pi \cdot (f(x))^2 dx$ .

Dessa delvolymer summeras (integreras) sedan från x = 1 till x = 2.

Det ger oss att $V = \int_{1}^{2} π \cdot (f (x))^{2} d x$

Svara