Volym av rotationskropp

desperat skrev:

Hej! Jag vet inte hur jag ska lösa den här uppgiften:

Jag har ritat kurvorna/linjerna och ser vilket område det är jag ska räkna med. 

 

Men hur bestämmer jag volymen? Min första tanke var att kolla y-värdet när y=lnx är lika med e, för att veta integrationsgränserna i y-led. Sedan tänkte jag använda dem och en integral $V={\int }_0^1(\mathrm{\pi }\times {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}\right)}^{2}dy$

men det verkar inte bli rätt...

 

Hur gör man??

Börja med att lägga upp din bild, och försök också skissa hur rotationskroppen ser ut. Lägg upp den bilden också.

Det är lite svårt att rita hur rotationskroppen ser ut, men jag tänka ungefär hur det ser ut när den roterar runt y-axeln. 

Det behöver ine var snyggare än så här, men man kan (tror och hoppas jag!) se ungefär hur den ser ut:

Tack för bilden :)

Dock vet jag fortfarande inte hur jag ska beräkna dess volym...

Om du skivar rotationskroppen vinkelrätt mot y-axeln, hur kommer varje skiva att se ut?

De kommer se ut som en skiva, eller hur menar du? 

Jag har ett formelblad och vet att jag på något sätt borde använda $V=\mathrm{\pi }\times {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}^{2}d\mathrm{y}$

Nja, inte bara en cirkel... Det skulle det ha blivit om man lät t ex området som begränsas av linjerna x = 2 och y = 3 samt koordinataxlarna rotera runt y-axeln.

Skivorna blir som en cirkel med ett "glapp/hål" i mitten?

Ja. Du kan antingen räkna ut volymen av varje skiva med hål i, eller räkna ut volymen för cylindern minus volymen för hålet.

Tack!!

Jag tror jag vill försöka tänka att jag ska ta volymen av hela områden minus volymen för hålet. 

Volymen för hela området borde väl beräknas $V={\int }_0^1\mathrm{\pi }{e}^{2}dy$

Men nu vet jag inte hur jag tar reda på volymen för hålet... 

desperat skrev:

Tack!!

 

Jag tror jag vill försöka tänka att jag ska ta volymen av hela områden minus volymen för hålet. 

Volymen för hela området borde väl beräknas $V={\int }_0^1\mathrm{\pi }{e}^{2}dy$

Men nu vet jag inte hur jag tar reda på volymen för hålet... 

Hela cylindern har arean π e^2

"Hålet" har volymen

INT_0^1 π(e^y)^2 dy

Klarar du det härifrån?

Trinity2 skrev:

"Hålet" har volymen

INT_0^1 π(e^y)^2 dy

Hur vet du/man det?

Hur gjorde du själv för att komma fram till din integral i ditt förstainlägg?

Oj juste ja det är ju samma!

Men då i mitt första inlägg så tänkte jag på att integralen skulle beskriva volymen/arean under grafen y=lnx (det som jag färglade), men det kanske det inte är?

desperat skrev:

Oj juste ja det är ju samma!

 

Men då i mitt första inlägg så tänkte jag på att integralen skulle beskriva volymen/arean under grafen y=lnx (det som jag färglade), men det kanske det inte är?

Jo, men då får du räkna på integralen

INT_1^e 2π x ln(x) dx

Det kallas nog "skalmetoden" i din bok.

Tusen tack till alla för hjälpen!!

Nu förstår jag uppgiften. Tack :)