Volym av rotationskropp runt y-axeln
Hej!
I den här uppgiften ska jag räkna ut volymen som bildas mellan de positiva axlarna, y=2 samt y=lnx.
Gränserna blir ju y=0 och y=2. Men vad är det för funktion jag ska skriva primitiva funktionen av? Tänker jag helt fel om det är (ln y)^2? Vet dock inte vad den primitiva funktion av det skulle bli...
Idafrankis skrev :Hej!
I den här uppgiften ska jag räkna ut volymen som bildas mellan de positiva axlarna, y=2 samt y=lnx.
Gränserna blir ju y=0 och y=2. Men vad är det för funktion jag ska skriva primitiva funktionen av? Tänker jag helt fel om det är (ln y)^2? Vet dock inte vad den primitiva funktion av det skulle bli...
För sådana här uppgifter bör arbetsgången alltid vara densamma:
1. Gör en grov skiss över det hela. Rita in funktioner, markera områdets gränser. Dessa kommer att hjälpa dig att välja integrationsgränser.
2. Rotera området enligt anvisning och skaffa dig en uppfattning om hur rotationskroppen ser ut.
3. Bestäm lösningsmetod: Skivmetoden eller skalmetoden?
4. Ta fram uttryck för skivornas/skalens radie, area och volym.
5. Integrera bidragen från skivorna/skalen, vilket ger totalvolymen.
I ditt fall med y = ln(x) verkar du ha valt skivmetoden.
Det funkar utmärkt, men du har fel uttryck för skivornas radie.
Titta i din figur: Vad är skivans radie egentligen?
Tack för tipsen!
Jag har bara lärt mig skivmetoden och det är det enda min bok tänker lära mig så jag går väl efter det.
Det är på steg 4 jag fastnar, jag vet inte hur jag ska få fram det uttrycket. Något tips?
Idafrankis skrev :Tack för tipsen!
Jag har bara lärt mig skivmetoden och det är det enda min bok tänker lära mig så jag går väl efter det.
Det är på steg 4 jag fastnar, jag vet inte hur jag ska få fram det uttrycket. Något tips?
Bra. Skivmetoden funkar som sagt utmärkt här.
Men du har fel uttryck för en skivas radie.
Tipset är att titta i din figur. Du har väl skissat en skiva?
Rita in en radie. Den går ju från ...-axeln till kurvan. Vad har den radien för utbredningsriktning?
Hur kan du uttrycka radiens storlek på enklast form, alltså i x eller y?
Du menar att jag inte skrivit med pi?
Idafrankis skrev :Du menar att jag inte skrivit med pi?
Nej det var inte det jag menade.
Åt vilket håll går radien? Horisontellt eller vertikalt?
Och hur stor är radien från rotationsaxeln till en punkt (x, y) på kurvan?
Jag förstår faktiskt inte alls:(
Har du följt Yngves första råd och ritat en figur, åtminstone grovt?
Ja, det har jag. Jag förstår inte vad som menas med vilket håll radien går åt och hur stor radien är.
Idafrankis skrev :Jag förstår faktiskt inte alls:(
Jag har ritat en grov skiss.
Eftersom rotationen sker runt y-axeln så går radien r (rödmarkerad) från rotationsaxeln (dvs y-axeln) ut till kurvan y = ln(x).
Denna radies längd är alltså x.
Eftersom y = ln(x) så gäller att x = e^y.
Det betyder att radien på en skiva på höjd y ovan x-axeln är e^y.
Denna skiva har alltså en area som är pi*e^(2y) och en volym som är pi*e^(2y) dy.
Integrera dessa skivor från y = 0 till y = 2.
-----------------
Felet du gjorde var att du angav radien som y, dvs ln(x). Så skulle det vara om rotationen var runt x-axeln.
Du ritade väl en figur? Visst var den snyggare än min? 😉
