Elipan behöver inte mer hjälp
Elipan 241
Postad: 20 nov 2021 14:54

Volym med hjälp av integrering

Hej, jag har fastnat på denna uppgift och kommer absolut ingen vart. Skulle bli tacksam för lite hjälp på vägen!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 nov 2021 18:34

Vilken form har varje skiva, som är vinkelrät  mot y-axeln?

Tomten 1804
Postad: 20 nov 2021 18:49

Jag saknar ritmöjligheter så jag får försöka beskriva med ord. Projektionen av osten i xz-planet blir en rätvinklig triangel med kateterna r och h. Bestäm hypotenusans ekvation i detta plan. Skiva osten (mums!) i halvcirklar vinkelräta mot runda cylinderytan. Radien i dessa halvcirklar varierar från r till 0 och beror på höjden z och hypotenusans ekvation. Bestäm arean av halvcirklarna som funktion av höjden z. Integrera denna areafunktion från 0 till h. Hoppas någon annan har ritmöjligheter för jag tror det hjälper här.

SaintVenant 3889
Postad: 21 nov 2021 04:16

Jag är inte med på det Tomten beskriver. så som jag ser det är det då bara en halvcirkel vid z = 0. Övriga skivor är cirkelsegment:

Här ges arean av segmentet i grått som:

As=12r2(v-sinv)A_s = \dfrac{1}{2}r^2(v - \sin v)

Radien är konstant men vinkeln varierar från π\pi till 00. Volymen på alla skivor kan du sedan integrera fram genom att ta reda på hur vinkeln varierar med avseende på zz.

Ledning:

rcos(v/2)=zrhr\cos(v/2) = z\dfrac{r}{h}


Tillägg: 21 nov 2021 05:01

Jag kan tycka att Smaragdalenas metod är bättre och enklare. Framförallt blir integralen på din nivå. 

Elipan 241
Postad: 21 nov 2021 12:06 Redigerad: 21 nov 2021 12:07
Smaragdalena skrev:

Vilken form har varje skiva, som är vinkelrät  mot y-axeln?

Har väldigt svårt att förstå bilden men det borde väl bli ett cirkelsegment, eller?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 21 nov 2021 13:23

Nej, varje skiva blir en rätvinklig triangel.

SaintVenant 3889
Postad: 21 nov 2021 13:51 Redigerad: 21 nov 2021 13:53

Om du tittar vinkelrätt mot x-z planet har du följande bild:

Alltså en rätvinklig triangel med kateterna rr, hh och vinkeln tan(ϕ)=h/r\tan(\phi) =h/r. Vi ser att denna är en del av vår volym som:

Där alltså nedre hörnet ligger på en cirkel med ekvationen y2+x2=r2y^2+x^2=r^2. Om vi nu tar en godtycklig skiva vid något yy mellan +r+r och -r-r har vi:

Där alltså triangelns kateter är:

x'=r2-y2x' = \sqrt{r^2-y^2}

z'=x'·tan(ϕ)z' = x' \cdot \tan(\phi)

Tjockleken på skivan sätter du som en infinitesimal dydy och differientialvolymen blir arean gånger dydy. Dessa kan du sedan summera som en integral.

Elipan 241
Postad: 21 nov 2021 18:44 Redigerad: 21 nov 2021 18:59

Om jag förstått dig rätt kan man sätta z' i en integral och få ut arean. Men vad är vinkeln ϕ? Hur kan man  ta reda på den?

SaintVenant 3889
Postad: 21 nov 2021 20:30

Om du kollar längst upp i mitt inlägg ser du att jag skrev:

tan(ϕ)=h/r\tan(\phi)=h/r

Detta är alltså bara ett trigonometriskt samband. Annars kan du använda likformigheten mellan de mindre trianglarna och den med kateter rr och hh. Det är ekvivalent (om de har samma vinkel är de likformiga).

Svara
Close