Volym mellan två ytor

Hej! Jag skulle vilja veta om jag har tänkt rätt kring en uppgift. Uppgiften är att bestämma volymen för en kropp som begränsas av z=3-2y uppifrån och z=x^2+y^2 nedifrån.

Jag har ställt upp $\iint_{D} (\int_{x^{2} + y^{2}}^{3 - 2 y} d z) d y d x$ där D är projektionen av kroppen på xy-planet d.v.s (x,y) som uppfyller $x^{2} + y^{2} \leq 3 - 2 y$ .

Denna olikhet ger mig att D är cirkeln $x^{2} + {(y + 1)}^{2} \leq 4$ om jag har gjort rätt med kvadratkomplettering. Gjorde även samma kvadratkomplettering på z-integralen vilket ger

$\iint_{D} 3 - 2 y - (x^{2} + y^{2}) d y d x_{} = \iint_{D} 4 - (x^{2} + {(y + 1)}^{2}) d y d x$

Byte av x och (y+1) till polära koordinater gav mig då

$\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (4 - r^{2}) * r d r d ϕ$ som löses enkelt till 8pi

Jag är mest osäker på området D. Känns som att allt är ok i att bestämma området och jakobianen blev självklart samma för y+1 som om jag hade haft y. Dock osäker och skulle uppskatta om någon kan checka att det är rätt eller säga till var det är fel.

Har du börjat med att fundera ut hur kroppen ser ut? Är det en kon som skärs av ett plan?

Smaragdalena skrev:
Har du börjat med att fundera ut hur kroppen ser ut? Är det en kon som skärs av ett plan?

Det är en paraboloid som skärs snett av planet 3-2y. När jag ritar dem på geogebra och kollar rakt uppifrån på z-axeln ser "projektionen" av kroppen ut som cirkeln jag fick fram d.v.s förskjuten längs negativa y-axeln och radie 2.

Då kanske området för dubbelintegralen är rätt ändå?

Jag ser inget fel, är det fel enligt facit?

Edit: det där sista variabelbytet är sus

Qetsiyah skrev:
Jag ser inget fel, är det fel enligt facit?

Edit: det där sista variabelbytet är sus

Ok,bra! Inget facit men slog in det i en triple integral calculator och antog att cirkelskivan D var rätt och fick samma sak

Gjorde den och ock samma svar, 8pi

Qetsiyah skrev:
Gjorde den och ock samma svar, 8pi

Kanon, tack!

Svara Avbryt

Visa senaste svar