Volymberäkning

Bra början. 

Du behöver ta fram ekvationen för linjen.

Ta reda på skärningspunkter mellan linjen och sqrt(x) 

Använd dessa för att begränsa ett intervall och sätta upp en intergral.

När du bestämt linjens ekvation,

Rita så du ser hur området ser ut, det är lätt att göra fel annars!

Ture skrev:

När du bestämt linjens ekvation,

Rita så du ser hur området ser ut, det är lätt att göra fel annars!

jag e dåligt på att rita när det gäller matte, jag vet bara att linjen för x-axeln är p=2 å Q=4 samt y-axeln p=0 å Q=2

Då rekommenderar jag dig att träna på det, det är i stort sett omöjligt att klara den här typen av uppgifter utan att rita, dessvärre.

Du behöver se hur ytan som ska rotera ser ut, annars är risken stort att du gör fel

För att lära dig rita och bli säker på det, träna på att rita manuellt, med papper och penna, kontrollera sen dina försök med något grafiskt verktyg på dator, telefon eller räknare.

Shali_47 skrev:

jag e dåligt på att rita när det gäller matte, jag vet bara att linjen för x-axeln är p=2 å Q=4 samt y-axeln p=0 å Q=2

Jag håller med Ture helt och hållet här. För att förstå vad man håller på med och minska risken att göra fel är det oerhört hjälpsamt att ha en skiss att luta sig emot.

Tips för att komma igång med en skiss.

1. Rita ett koordinatsystem.
2. Markera de två givna punkterna.
3. Rita en linje som går genom punkterna.
4. Skissa grafen till $y=\sqrt{x}$ grovt.

Du kan då göra en enkel värdetabell enligt följande:

• Då $x<>$ så är $\sqrt{x}$ odefinierat, villet betyder att det inte finns någon graf i vänstra halvklotet.
• Då $x=0$ så är $y=\sqrt{0}=0$, dvs (0, 0) är en punkt på grafen. Markera den.
• Då $x=\frac{1}{4}$ så är $y=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$, dvs (1/4, 1/2) är en punkt på grafen. Markera den.
• Då $x=1$ så är $y=\sqrt{1}=1$, så (1, 1) är en punkt på grafen.
• Då $x=4$ så är $y=\sqrt{4}=2$, så (4, 2) är en punkt på grafen. Markera den.

Sammanbind slutligen dessa 4 punkter med en mjukt böjd kurva som fortsätter åt höger.

Grafen behöver inte alls vara speciellt välritad eftersom du inte ska använda den för att göra några mätningar.

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

jag e dåligt på att rita när det gäller matte, jag vet bara att linjen för x-axeln är p=2 å Q=4 samt y-axeln p=0 å Q=2

Jag håller med Ture helt och hållet här. För att förstå vad man håller på med och minska risken att göra fel är det oerhört hjälpsamt att ha en skiss att luta sig emot.

Tips för att komma igång med en skiss.

1. Rita ett koordinatsystem.
2. Markera de två givna punkterna.
3. Rita en linje som går genom punkterna.
4. Skissa grafen till $y=\sqrt{x}$ grovt.

Du kan då göra en enkel värdetabell enligt följande:

• Då $x<>$ så är $\sqrt{x}$ odefinierat, villet betyder att det inte finns någon graf i vänstra halvklotet.
• Då $x=0$ så är $y=\sqrt{0}=0$, dvs (0, 0) är en punkt på grafen. Markera den.
• Då $x=\frac{1}{4}$ så är $y=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$, dvs (1/4, 1/2) är en punkt på grafen. Markera den.
• Då $x=1$ så är $y=\sqrt{1}=1$, så (1, 1) är en punkt på grafen.
• Då $x=4$ så är $y=\sqrt{4}=2$, så (4, 2) är en punkt på grafen. Markera den.

Sammanbind slutligen dessa 4 punkter med en mjukt böjd kurva som fortsätter åt höger.

Grafen behöver inte alls vara speciellt välritad eftersom du inte ska använda den för att göra några mätningar.

Snygg graf till $y=\sqrt{x}$

Men jag saknar den räta linje som ska gå genom de två givna punkterna (2, 0,) och (2, 4).

Du behöver rita in den i koordinatsystemet så att du ser hur området som roteras runt x-axeln ser ut.

Som det är nu så tar du inte hänsyn till den begränsningslinjen i din uträkning.

En annan sak är att detta inte stämmer (inringat I blått):

Yngve skrev:

En annan sak är att detta inte stämmer (inringat I blått):

men jag vet inte hur ska jag göra med den räta linje!

Försök att skissa in den i ditt koordinatsystem med $\sqrt{x}$. Sedan läser du frågan igen så förstår du nog bättre vad du ska göra. 

Yngve skrev:

Tips för att komma igång med en skiss.

1. Rita ett koordinatsystem.
2. Markera de två givna punkterna.
3. Rita en linje som går genom punkterna.

Se fetmarkerat ovan.

Yngve skrev:

Yngve skrev:

Tips för att komma igång med en skiss.

1. Rita ett koordinatsystem.
2. Markera de två givna punkterna.
3. Rita en linje som går genom punkterna.

Se fetmarkerat ovan.

Har skissat de där punkterna!

Shali_47 skrev:

Har skissat de där punkterna!

OK bra (men jag vet inte varför du har dragit en linje mellan origo och punkten (4, 2)).

Kan du nu i bilden markera hur det område som roterar runt x-axeln ser ut?

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

Har skissat de där punkterna!

OK bra (men jag vet inte varför du har dragit en linje mellan origo och punkten (4, 2)).

Kan du nu i bilden markera hur det område som roterar runt x-axeln ser ut?

du kan ignorera linjen som dragits mellan origo och punkterna 4,2

Det framgår inte hur området ser ut, kan du rita konturerna med tjockare penna?

Eller fylla i området med streckade linjer?

Yngve skrev:

Det framgår inte hur området ser ut, kan du rita konturerna med tjockare penna?

Eller fylla i området med streckade linjer?

jag streckade området som du ser från 2 till 4 i x-axeln!

OK, men det området ingår inte.

Läs uppgiftstexten igen noga.

Där står det 

Linjen genom punkterna P = (2, 0) och Q = (4, 2) samt grafen till y = √x avgränsar tillsammans med x-axeln ett område i första kvadranten. 

Det betyder att området begränsas av

1. Linjen genom punkterna P = (2, 0) och Q = (4, 2)
2. grafen till y = √x
3. x-axeln

Markera dessa tre delar med en tjock penna så kommer du att se att de innesluter ett område.

Det är detta område som roterar runt x-axeln.

Yngve skrev:

OK, men det området ingår inte.

Läs uppgiftstexten igen noga.

Där står det 

Linjen genom punkterna P = (2, 0) och Q = (4, 2) samt grafen till y = √x avgränsar tillsammans med x-axeln ett område i första kvadranten. 

Det betyder att området begränsas av

1. Linjen genom punkterna P = (2, 0) och Q = (4, 2)
2. grafen till y = √x
3. x-axeln

Markera dessa tre delar med en tjock penna så kommer du att se att de innesluter ett område.

Det är detta område som roterar runt x-axeln.

Snyggt!

När detta område roteras ett varv runt x-axeln så skapas en rotationskropp som ser ut som en liggande skål med en konformad "urgröpning" längs med x-axeln.

Det finns nu flera olika sätt att beräkna rotationskroppens volym.

T.ex. kan du använda skalmetoden i y-led eller skivmetoden i x-led.

För var och en av dessa kan du välja att ställa upp volymen som en enda lite mer komplicerad integral alternativt att först beräkna volymen av rotationskroppen utan urgröpning och sedan från det subtrahera volymen av den kon som utgör själva urgröpningen.

Har du någon idé på hur du ska/vill gå vidare?

Yngve skrev:

Snyggt!

När detta område roteras ett varv runt x-axeln så skapas en rotationskropp som ser ut som en liggande skål med en konformad "urgröpning" längs med x-axeln.

Det finns nu flera olika sätt att beräkna rotationskroppens volym.

T.ex. kan du använda skalmetoden i y-led eller skivmetoden i x-led.

För var och en av dessa kan du välja att ställa upp volymen som en enda lite mer komplicerad integral alternativt att först beräkna volymen av rotationskroppen utan urgröpning och sedan från det subtrahera volymen av den kon som utgör själva urgröpningen.

Har du någon idé på hur du ska/vill gå vidare?

 

 

Det jag behöver beräkna är integralen från 0>4 minus - integralen från 2>4 och det ska vara lika med = 16Pi/3, stämmer det?

Din integral #1, dvs den där du integrerar pi•x från 0 till 4 stämmer (men du har skrivit fel där du tar fram den primitiva funktionen).

Men hur tänkte du när du tog fram integral #2? Vilken volym avser den? Tänk på att urgröpningen är en kon med radie 2 och höjd 2 ...

Yngve skrev:

Din integral #1, dvs den där du integrerar pi•x från 0 till 4 stämmer (men du har skrivit fel där du tar fram den primitiva funktionen).

Men hur tänkte du när du tog fram integral #2? Vilken volym avser den? Tänk på att urgröpningen är en kon med radie 2 och höjd 2 ...

Jag tänkte för att vi får det området som streckade så behöver vi också radera området under streckade området!

Shali_47 skrev:

Jag tänkte för att vi får det området som streckade så behöver vi också radera området under streckade området!

Ja, det stämmer.

Men integranden $\pi (x^2)^2$ stämmer inte. Den motsvarar volymen detta område genererar:

Och det är alldeles för stort.

Tänk istället att urgröpningen är en cirkulär kon med radie 2 och höjd 2. Du behöver ingen integral för att beräkna den volymen.

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

Jag tänkte för att vi får det området som streckade så behöver vi också radera området under streckade området!

Ja, det stämmer.

Men integranden $\pi (x^2)^2$ stämmer inte. Den motsvarar volymen detta område genererar:

Och det är alldeles för stort.

Tänk istället att urgröpningen är en cirkulär kon med radie 2 och höjd 2. Du behöver ingen integral för att beräkna den volymen.

Så vad kan jag göra för att det ska vara lika med = 16Pi/3, kan du ge lite tips tack!

Shali_47 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

Shali_47 skrev:

Visa föregående citat

Jag tänkte för att vi får det området som streckade så behöver vi också radera området under streckade området!

Ja, det stämmer.

Men integranden $\pi (x^2)^2$ stämmer inte. Den motsvarar volymen detta område genererar:

Och det är alldeles för stort.

Tänk istället att urgröpningen är en cirkulär kon med radie 2 och höjd 2. Du behöver ingen integral för att beräkna den volymen.

Så vad kan jag göra för att det ska vara lika med = 16Pi/3, kan du ge lite tips tack!

V = pi*r^2*h = (pi*2^2*2)/3 = 8pi/3

Shali_47 skrev:

V = pi*r^2*h = (pi*2^2*2)/3 = 8pi/3

Ja, det stämmer.

Subtrahera nu detta från resultatet av integral 1.

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

V = pi*r^2*h = (pi*2^2*2)/3 = 8pi/3

Ja, det stämmer.

Subtrahera nu detta från resultatet av integral 1.

Vilka sa du att det inte stämmer med primitiva funktion! 
Är det den jag ska subtrahera med?

Shali_47 skrev:

Vilka sa du att det inte stämmer med primitiva funktion! 

Du skrev så här:

Men det ska stå så här:

Är det den jag ska subtrahera med?

Nej tvärtom.

Du ska subtrahera 8pi/3 från integralens värde.

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

Vilka sa du att det inte stämmer med primitiva funktion! 

Du skrev så här:

Men det ska stå så här:

Är det den jag ska subtrahera med?

Nej tvärtom.

Du ska subtrahera 8pi/3 från integralens värde.

Menar du 16Pi/3???

Shali_47 skrev:

Menar du 16Pi/3???

Ja, du ska visa att den efterfrågade volymen är 16pi/3.

Men är du med på vilket fel du gjorde när du skrev att $\int_{0}^{4}\pi (x)\operatorname dx=\int_{0}^{4}\pi(\frac{x^2}{2})\operatorname dx$?

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

Menar du 16Pi/3???

Ja, du ska visa att den efterfrågade volymen är 16pi/3.

Men är du med på vilket fel du gjorde när du skrev att $\int_{0}^{4}\pi (x)\operatorname dx=\int_{0}^{4}\pi(\frac{x^2}{2})\operatorname dx$?

Blir det inte x > x^2/2 för primitiva funktionen?

Använd inte > så, det betyder större än. Skriv nån sorts pil hellre.

Du vet vad den primitiva funktionen är, men då är integrationen gjord, så ta bort integraltecknet. Integrationsgränserna markerar du genom att sätta klamrar (hakparenteser) runt uttrycket och skriva gränserna till höger.

(Jag utelämnar ofta den vänstra klammern.)

Laguna skrev:

Använd inte > så, det betyder större än. Skriv nån sorts pil hellre.

Du vet vad den primitiva funktionen är, men då är integrationen gjord, så ta bort integraltecknet. Integrationsgränserna markerar du genom att sätta klamrar (hakparenteser) runt uttrycket och skriva gränserna till höger.

(Jag utelämnar ofta den vänstra klammern.)

Jag menar primitiva funktionen för x blir x^2/2 i vårt fall visst???

Shali_47 skrev:

Jag menar primitiva funktionen för x blir x^2/2 i vårt fall visst???

Ja, det stämmer. Men det var inte det som var felet.

Felet var att du skrev ett integraltecken istället för hakparenteser, se bilder i svar #29.

Yngve skrev:

Shali_47 skrev:

Jag menar primitiva funktionen för x blir x^2/2 i vårt fall visst???

Ja, det stämmer. Men det var inte det som var felet.

Felet var att du skrev ett integraltecken istället för hakparenteser, se bilder i svar #29.

OK, bra. Nu har du kommit fram till rätt resultat (du kan förenkla 32pi/6 till 16pi/3).

Du tänker rätt men skriver fel här:

Det som står till vänster om likhetstecknet är nämligen inte lika med det som står till höger om det.

Yngve skrev:

OK, bra. Nu har du kommit fram till rätt resultat (du kan förenkla 32pi/6 till 16pi/3).

Du tänker rätt men skriver fel här:

Det som står till vänster om likhetstecknet är nämligen inte lika med det som står till höger om det.

Jag förstår inte. Har du någon fråga?

Yngve skrev:

Jag förstår inte. Har du någon fråga?

Tack För hjälpen👍