Volymberäkning - integraler 2

1. Ja

2. Man ska ALLTID rita figur!

3. Nej du behöver inte dela upp

4. Skriv om med dubbla vinkeln

Ja, integralen blir

$\pi {\int }_o^{\pi /2}\left(\sin \right(x) + 2\cos (x){)}^2 dx$

2. Men jag förstår inte hur jag ska rita en funktion som är y=sinx + 2cosx. Hjälp? Hur ska man tänka?

3. Får man rätt svar om man delar upp den - och vad skulle bitarna bli i så fall?

4. Min fråga om sinx^2 var syftad på om man delade upp den. Jag kommer inte på hur jag ska lösa denna, alltså varken uppgiften eller (sinx)^2. Hint/visa tillvägagångssätt?

gulfi52 skrev :

2. Men jag förstår inte hur jag ska rita en funktion som är y=sinx + 2cosx. Hjälp? Hur ska man tänka?

3. Får man rätt svar om man delar upp den - och vad skulle bitarna bli i så fall?

4. Min fråga om sinx^2 var syftad på om man delade upp den. Jag kommer inte på hur jag ska lösa denna. Hint/visa tillvägagångssätt?

 2. Summan av en sin och en cos med samma x blir alltid en sinus med en ny amplitud och en fasförskjutning. skissa figuren genom att sätta in x = 0, och beräkna ungefärliga nollställen.

3. Du får rätt om du delar upp den det blir tre delar, eftersom du måste utföra kvadreringen först.

4. Vare sig du delar upp den eller inte får du sin^2, den antingen kan man utantill eller så skriver man om sin^(x) med hjälp av formeln för dubbla vinkeln, sin^2(x) = (1-cos(2x))/2

Edit: Jag tryckte på fel knapp så samma svar kom med två ggr...

Jag kommer inte vidare med att hitta primitiven till hela. Ska jag utveckla funktionen^2 och sedan förkorta ner?q

Ture skrev :

gulfi52 skrev :

2. Men jag förstår inte hur jag ska rita en funktion som är y=sinx + 2cosx. Hjälp? Hur ska man tänka?

3. Får man rätt svar om man delar upp den - och vad skulle bitarna bli i så fall?

4. Min fråga om sinx^2 var syftad på om man delade upp den. Jag kommer inte på hur jag ska lösa denna. Hint/visa tillvägagångssätt?

 2. Summan av en sin och en cos med samma x blir alltid en sinus med en ny amplitud och en fasförskjutning. skissa figuren genom att sätta in x = 0, och beräkna ungefärliga nollställen. (sin(x) +2cos(x) = 0 => sin(x) = -2cos(x) => tan(x) = -2)

3. Du får rätt om du delar upp den det blir tre delar, eftersom du måste utföra kvadreringen först.

4. Vare sig du delar upp den eller inte får du sin^2, den antingen kan man utantill eller så skriver man om sin^2(x) med hjälp av formeln för dubbla vinkeln, sin^2(x) = (1-cos(2x))/2

gulfi52 skrev :

Jag kommer inte vidare med att hitta primitiven till hela. Ska jag utveckla funktionen^2 och sedan förkorta ner?q

Prova!!

 Nej jag förstår faktiskt inte vad jag ska göra. Förstår inte hur du menar med ditt svar på 2, hur det får mig dit jag ska.

Formeln säger integralen mellan a till b för pi * ( (f(x) )^2 )

Jag har f(x)=sinx + 2*cosx så jag ska utveckla detta och sedan hitta en primitiv.

Detta är så långt som jag kommer.

EDIT. 2. Hur vet jag att det är så att summan av en sin och cos med samma x blir en ny sin?

3. Hur blir summan av en sin och cos med olika x?

 Du har ju kommit långt. Nu behöver du bara skriva om cos-kvadrat med formeln för cos av dubbla vinkeln, så har du delat upp integralen i tre delar som var för sig är enklare.

Hämtat från https://en.wikibooks.org/wiki/Trigonometry/Simplifying_a_sin(x)_%2B_b_cos(x)

Check this
Check that sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1} as expected.
f ( x ) = a sin ⁡ ( x ) + b cos ⁡ ( x ) = a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 sin ⁡ ( x ) + b a 2 + b 2 cos ⁡ ( x ) ) = a 2 + b 2 ( sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) ) = a 2 + b 2 sin ⁡ ( x + y ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a\sin(x)+b\cos(x)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin(x)+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos(x)\right)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\Big (}\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y){\Big )}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+y)\\\end{aligned}}} ,
which is (drum roll) a sine wave of amplitude a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} and phase y.

EDIT: Nähä - formatteringen försvann. Men a*sin(x) + b*cos(x) blir c* sin(a + alfa)

där c= sqrt( a^2+b^2)  och tan(alfa)=b/a

 Ska fundera vidare på vad du Gråben skrev men en första fråga: ska jag då egentligen inte dela upp 3*(cosx)^2 i (cosx)^2 och cosx utan ha ihop det och flytta ut 3:an utanför integralen och beräkna primitiven av (cosx)^2?

Och dör sin2x som beräknar jag dess primitiv och vad den får för värde och helt enkelt multiplicerar med 2 för att jag har 2 stycken sin2x?

gulfi52 skrev :

 Nej jag förstår faktiskt inte vad jag ska göra. Förstår inte hur du menar med ditt svar på 2, hur det får mig dit jag ska.

Formeln säger integralen mellan a till b för pi * ( (f(x) )^2 )

Jag har f(x)=sinx + 2*cosx så jag ska utveckla detta och sedan hitta en primitiv.

Detta är så långt som jag kommer.

 

EDIT. 2. Hur vet jag att det är så att summan av en sin och cos med samma x blir en ny sin?

3. Hur blir summan av en sin och cos med olika x?

När du utvecklar sin(x) + 2 cos(x) får du:

sin^2(x) + 4cos^2(x) +4sin(x)cos(x) 

för att göra det lättare skriver du om kvadraterna med hjälp av dubbla vinkeln

(1-cos(2x))/2 +4(1+cos(2x))/2 + 4sin(x)cos(x) 

Nu är det bara att integrera

Här kan du läsa om sin + cos funktioner 

http://www.learnify.se/Learnifyer/ObjectResources/7a41d80e-83e3-4113-912b-626976f27163/3c.html

Nej kommer inte fram till hur jag ska utveckla den. Provade med att sätta cosx som cos (x/2*2) och utveckla men får inte något som känns som enkelt och rätt - eller?

4*(cos(x/2))^2   +   4*(sin(x/2))^2    -    4*sinx

Eller ÄR det en lång utveckling och förkortnings"process" där jag sedan ska sätta t=cos(x/2) och fortsätta så?

Varför inte följa rådet:

sin^2(x) + 4cos^2(x) +4sin(x)cos(x) 

för att göra det lättare skriver du om kvadraterna med hjälp av dubbla vinkeln

(1-cos(2x))/2 +4(1+cos(2x))/2 + 4sin(x)cos(x) 

Som Henrik skriver blir det klart enklare att skriva om allt uttryckt i sin och cos av "dubbla vinkeln", dvs. sin(2x) och cos(2x).

Sista raden i Henriks svar ger dig ett uttryck i cos(2x), och så kanske du kan klura ut hur 4sin(x)cos(x) kan skrivas som något med sin(2x) och/eller cos(2x)? Då har du hela uttrycket i sin(2x) och cos(2x). Därefter kanske det går bra att hitta primitiva funktionen?

För att rita skulle man kunna tänka sig att du väljer ut några "enkla" x-värden i intervallet 0 - pi/2, t.ex. 0, pi/6, pi/4, pi/3 och pi/2. Värden för sin resp. cos av dessa vinklar finns ofta i tabeller (om man inte lärt sig dem utantill), och då kan man oftast nöja sig med att skissa en sinusliknande funktion genom dessa punkter, utgående från uttrycket du har för f(x). Vill du kan du även derivera uttrycket och använda derivatan i samma punkter för att få en bättre känsla för lutningen.

Hur går det därefter?