Volymen av en pyramid med hjälp av integraler
Jag ska lösa denna uppgift:
Visa att volymen av en pyramid med kvadratisk basyta med sidan a kan beräknas med formeln där h är pyramidens höjd.
Det jag tänker mig är att dess topp ligger i origo och roterar kring x-axeln. Då bör den begränsas av linjen y = h. Vad kan jag göra sen?
Farligt med rotation här, då får du väl en cirkulär basyta, inte en kvadratisk?
Tänk lager: Om du gör tvärsnitt av pyramiden, parallellt med basen, får du kvadrater. Tvärsnittet längst ner är bara basytan, a^2, medan tvärsnitt högre upp i pyramiden har en kortare sidlängd eftersom pyramiden smalnar av uppåt.
Kan du hitta en formel för sidlängden av varje kvadratiskt tvärsnitt, som funktion av höjden? Om du har det kan du beräkna volymen med en integral. Volymen blir nämligen summan av varje tvärsnittsarea gånger den infinitesimala höjdförändringen, dz. Som att du summerar oändligt många, oändligt tunna, kvadratiska rätblock, alltså.
Du kan dessvärre inte använda rotationsvolymer här - då blir ju tvärsnittet en cirkel (som i en kon), inte en kvadrat som det skall vara.
Du får ställa upp ett uttryck för volymen av en tunn kvadratisk skiva och sedan integrera detta uttryck. Har du gjort något liknande förut? (Det är ju på det här viset man härleder formeln för rotationsvolymer)
En pyramid har inte rotationssymmetri - du kanske tänker på en kon.
Här skulle jag låta puramidens fyra bottenhörn vara i punkterna och låta toppen vara i punkten och integrera med hjälp av skivmetoden. Kommer du vidare?
Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har komit och fråga igen.
