Volymen av kropp K som ges av olikheterna

Utgå från den givna olikheten $|z| \le x^2 + y^2$.

Vid variabelbyte till förskjutna cylindriska koordinater (d.v.s. förskjutna polära koordinater för x och y, medan z förblir utan något byte):

$\left\{ \begin{array}{rl} x &= r\,\cos \theta + 2 \\ y & = r\,\sin \theta \\ z & = z \end{array} \right.$  med jacobideterminanten $|J| = r$,

där hela rummet fås då $r \ge 0, \ \theta \in (-\pi, \pi] , \ z \in \mathbb{R}$, så kommer kroppens olikheter omvandlas till de nya variablerna enligt:

• $x^2 + y^2 \le 4x \iff (x-2)^2 + y^2 \le 4 \iff r^2 \le 4 \iff r \in [-2, 2]$, men man vet redan att $r \ge 0$, så $r \in [0, 2]$
• $|z| \le x^2 + y^2 \iff -(x^2 + y^2) \le z \le x^2 + y^2 \iff -(r^2 + 4r \cos \theta + 4) \le z \le r^2 + 4r \cos \theta + 4$

och då har man tagit fram integrationsgränserna för $z$.  Notera alltså att man måste integrera m.a.p. $z$ i innersta integralen eftersom integrationsgränserna innehåller både $r$ och $\theta$, d.v.s.

$\displaystyle V=\iiint_K 1 \,dx\,dy\,dz = \int_{r=0}^2 \int_{\theta=-\pi}^\pi \int_{z=-(r^2 + 4r\cos \theta + 4)}^{r^2 + 4r\cos \theta + 4} r\, dz\,d\theta\,dr$

LuMa07 skrev:

Utgå från den givna olikheten $|z| \le x^2 + y^2$.

Vid variabelbyte till förskjutna cylindriska koordinater (d.v.s. förskjutna polära koordinater för x och y, medan z förblir utan något byte):

$\left\{ \begin{array}{rl} x &= r\,\cos \theta + 2 \\ y & = r\,\sin \theta \\ z & = z \end{array} \right.$  med jacobideterminanten $|J| = r$,

där hela rummet fås då $r \ge 0, \ \theta \in (-\pi, \pi] , \ z \in \mathbb{R}$, så kommer kroppens olikheter omvandlas till de nya variablerna enligt:

• $x^2 + y^2 \le 4x \iff (x-2)^2 + y^2 \le 4 \iff r^2 \le 4 \iff r \in [-2, 2]$, men man vet redan att $r \ge 0$, så $r \in [0, 2]$
• $|z| \le x^2 + y^2 \iff -(x^2 + y^2) \le z \le x^2 + y^2 \iff -(r^2 + 4r \cos \theta + 4) \le z \le r^2 + 4r \cos \theta + 4$

och då har man tagit fram integrationsgränserna för $z$.  Notera alltså att man måste integrera m.a.p. $z$ i innersta integralen eftersom integrationsgränserna innehåller både $r$ och $\theta$, d.v.s.

$\displaystyle V=\iiint_K 1 \,dx\,dy\,dz = \int_{r=0}^2 \int_{\theta=-\pi}^\pi \int_{z=-(r^2 + 4r\cos \theta + 4)}^{r^2 + 4r\cos \theta + 4} r\, dz\,d\theta\,dr$

hur kommer det sig att theta är mellan -pi till pi när lösningsförslaget säger 0 till 2pi? i steget där du skriver att r^2 <=4 hänger jag inte riktigt med på var det kommer ifrån och ser inte heller det.

theta ska gå ett helt varv. Det spelar absolut ingen roll om det är från 0 till 2pi, eller från -pi till pi, eller från 56pi till 58pi

Om du sätter in x=r cos(θ) + 2  och  y=r sin(θ)  i olikheten  (x-2)^2 + y^2 <= 4 och förenklar m.h.a. trigonometriska ettan, så får du r^2 <= 4.

Olikheten r^2 <= 4 kan sedan lösas genom att flytta över 4:an och faktorisera:

$r^2 \le 4 \iff r^2-4 \le 0 \iff (r+2)(r-2) \le 0 \iff -2 \le r \le 2$

LuMa07 skrev:

theta ska gå ett helt varv. Det spelar absolut ingen roll om det är från 0 till 2pi, eller från -pi till pi, eller från 56pi till 58pi

 

Om du sätter in x=r cos(θ) + 2  och  y=r sin(θ)  i olikheten  (x-2)^2 + y^2 <= 4 och förenklar m.h.a. trigonometriska ettan, så får du r^2 <= 4.

Olikheten r^2 <= 4 kan sedan lösas genom att flytta över 4:an och faktorisera:

$r^2 \le 4 \iff r^2-4 \le 0 \iff (r+2)(r-2) \le 0 \iff -2 \le r \le 2$

Jaa nu ser jag det tydligt. Tack så mycket! Bra förklarat.