Volymsberäkning med hjälp av trippelintegraler

Hej,

Jag försöker lösa ett problem som lyder som följer:

I ett lämpligt koordinatsystem beskrivs en kristallskål av olikheterna $z \ge x^2+y^2-1$ och $z\le \sqrt{x^2+y^2}+1$ samt $z \ge 0$. Gör en enkel skiss av skålen och beräkna volymen av den glasmassa som skålen är gjord av.

Jag har lyckats skissa upp den volym som bildas av skålen och den verkar stämma överens med om jag skulle plotta ytorna.

Jag söker sedan skärningen mellan ytorna och löser därför:

$x^2+y^2-1=\sqrt{x^2+y^2}+1$

Vilket efter substitution med $\sqrt{x^2+y^2}=r$ ger att $r_1=2, r_2=-1$

Varav vi utesluter den sista roten ty den är falsk i vårt fall.

Vi ser alltså att skärningen mellan ytorna bildar en projektion på xy - planet av en cirkelskiva vars radie ges av 2. På samma sätt skär den undre ytan z = 0 i en cirkelskiva med radie 1. Därför sätter jag upp följande trippelintegral:

$V = {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}d\theta {\int }_1^{2}rdr{\int }_{r^2-1}^{r+1}dz+{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_0^{r+1}dz+{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_0^{1-r^2}dz$

Detta genom att alltså konvertera till cylindriska koordinater.  Jag byter även tecken på den del av den andra funktionen som befinner sig under z - axeln för att få ut positiv volym.

Gör jag beräkningarna får jag $16\mathrm{\pi }/3$till skillnad från facit med $29\mathrm{\pi }/6$.

Jag ser dock inte riktigt vart det går fel i min uppställning av trippelintegralen. Tack för all hjälp.

*Edit* Insåg precis att om jag inte tar med den sista termen för V så fås rätt svar. Jag insåg vad som gick fel nu! Tack ändå haha.