x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x-8=0 i faktorform

Jag skulle snarare försöka ta reda på nollställena så jag kan skriva polynomet i faktorform.

Prova att gissa rötter.

Laguna skrev:

Jag skulle snarare försöka ta reda på nollställena så jag kan skriva polynomet i faktorform.

Prova att gissa rötter.

Ta reda på nollställena med pq formel? (ser inte ett sätt att faktorisera den till en andragradsekvation)? Enligt exempel blad på 24 i boken origo 3b/3c så kan man faktorisera den redan till svaret (x+1)(x-1)(x-2)(x-4). 

Meningen med dessa räkneuppgifter är att faktorisera så att man enklare kan ta reda på nollställena

Som Laguna skrev: Gissa nollställen.

Läs detta svar (byt ut $\lambda$ mot $x$) för att få ett par tips om hur du kan gå tillväga med det.

ChristopherH skrev:

Jag ser typ såhär, tänker jag rätt om jag vill få (x+x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4): ''varför blir det + i första parantes här om regeln gäller ''-'' på alla k(x-x1)(x-x2)?''

Om x1 är ett nollställe så blir det inte så.

Men om t.ex. x1 = -1 så blir ju x-x1 = x-(-1) = x+1

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

Jag ser typ såhär, tänker jag rätt om jag vill få (x+x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4): ''varför blir det + i första parantes här om regeln gäller ''-'' på alla k(x-x1)(x-x2)?''

Om x1 är ett nollställe så blir det inte så.

Men om t.ex. x1 = -1 så blir ju x-x1 = x-(-1) = x+1

Ok förstår så först vill du att jag gissar två nollställen (2 faktorer) med metoderna intills jag får en polynom med gradtalet x^2 (där de två faktorerna jag gissade har ett gånger tecken framför som sina egna faktorer med parantes) att använda pq formel eller kvadratkomplettering med för resterande nollställen. Däremot förstår jag inte vad polynomdivision är, är det verkligen matte 3c?

''Generell metod: Börja med att gissa ett nollställe.

Antingen genom att pröva "enkla" värden på λ� som 0, ±1±1, ±2±2 o.s.v.

Eller som här: Addera koefficienterna. Om summan av koefficienterna är lika med noll så är λ=1�=1 ett nollställe.

Om λ1�1 är ett nollställe så är (λ−λ1)(�-�1) en faktor I polynomet.

Du kan därför utföra polynomdivision för att få ett polynom med lägre gradtal att hitta nollställen till.

Fortsätt så tills du hamnar på ett polynom med gradtal 2, då du kan använda kvadratkomplettering/PQ-formeln för att hitta de sista två nollställena.

Du har då faktoriserat polynomet P(λ)=k(λ−λ1)(λ−λ2)�(�)=�(�-�1)(�-�2)...(λ−λn)(�-��), där k� är en konstant och  n� är polynomets gradtal.

Psst: Du kan även kika på "rational root theorem".''

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

Jag ser typ såhär, tänker jag rätt om jag vill få (x+x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4): ''varför blir det + i första parantes här om regeln gäller ''-'' på alla k(x-x1)(x-x2)?''

Om x1 är ett nollställe så blir det inte så.

Men om t.ex. x1 = -1 så blir ju x-x1 = x-(-1) = x+1

Men för denna så är summan av koefficienterna 1-6+7+6=8 så ett av faktorerna är inte (x-1) = 0, men enligt facit så är ett av faktorerna (x-1) så den metoden funkar ju inte för denna polynom?

Konstanttermen -8 räknas också som koefficient.

Laguna skrev:

Konstanttermen -8 räknas också som koefficient.

Jaha men då har vi en faktor (x-1) men eftersom det inte är tredjegradsekvation så krävs det att gissa en till nollställe eller hur? Eller finns det beräknings metod för att få fram den? 

Förresten nu när jag har gissat en faktor ska jag ändra på polynomekvationen på något sätt, för jag måste ju komma fram till något sätt att få en ekvation för pqformel eller kvadrereringskomplettering?

Tillägg: 22 jan 2023 21:05

redigerat

Om ni inte har lärt er polynomdivision så är det nog meningen att man ska gissa samtliga rötter.

Laguna skrev:

Om ni inte har lärt er polynomdivision så är det nog meningen att man ska gissa samtliga rötter.

Går det att gissa alla 4 rötter med denna ekvation? Det måste väl finnas ett sätt att komma fram till pq formel eller kvadreringskomplettering 

JAHA du menar att för att få en ny ekvation med lägre gradtal måste jag göra polynomdivision

Om du vet två rötter kan du få fram ett andragradspolynom. Vilka två rötter har du gissat?

Laguna skrev:

Om du vet två rötter kan du få fram ett andragradspolynom. Vilka två rötter har du gissat?

Jag fick genom att testa hela ekvationen där jag byte x med -1 så fick jag svaret = 0

och jag fick genom att addera alla koefficienter och fick = 0

Har jag två rötter då? Rötterna (x-1)(x+1) har jag då kanske

Hur får jag andragradspolynomet efter det?

Laguna skrev:

Om du vet två rötter kan du få fram ett andragradspolynom. Vilka två rötter har du gissat?

(x-1)(x+1)

Då kan du ansätta ett andragradspolynom:

(x-1)(x+1)(x²+px+q) = x⁴ - 6x³ + 7x² + 6x - 8.

Multiplicera ut vänsterledet så får du ekvationer för p och q.

Laguna skrev:

Då kan du ansätta ett andragradspolynom:

(x-1)(x+1)(x²+px+q) = x⁴ - 6x³ + 7x² + 6x - 8.

Multiplicera ut vänsterledet så får du ekvationer för p och q.

Jag får:

(x-1)(x+1)(x^2+px+q) = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8

=>

(x^2-1)(x^2+px+q)= x^4-6x+7x^2+6x-8

=>

x^4+px^3+qx^2-x^2-px-q = x^4-6x+7x^2+6x-8

kan man ens ta bort qx^2-x^2 sådär?

=>

x^4+px^3+q-px-q = x^4-6x+7x^2+6x-8

=>

x^4+px^3-px = x^4-6x+7x^2+6x-8

=>

px^3-px = -6x+7x^2+6x-8

=>

px^3-6x^3-px-7x^2-6x+8 = 0

=>

Här fastnar jag för att jag har px^3-6x^3, men jag tar bort x^3 vilket ger:
=>

p-6-px-7x^2-6x+8=0

=>

Här ändrar jag uttrycket så att grad^2 ligger på vänster sida:

=>

-7x^2+p-6-px-6x+8 = 0

=> 

-7x^2+p-px-6x+2 = 0

=>

Här går inte att utveckla längre, jag hittar inte p förutom q = 2

Jag vet inte vad du gör efter tredje raden, men på tredje raden har du konstanttermen -q till vänster och -8 till höger. Alltså är q = 8.

x^4+px^3+qx^2-x^2-px-q = x^4-6x^3+7x^2+6x-8

=>

x^4+px^3+ 8x^2-x^2-px - 8 + 8  = x4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x 

=> För p

x^4 + 6x^3 + 8x^2 - x^2 - 6 + 8 = x^4 + 7x^2 +6x

Är det rätt? Fast på höger har vi flera p däremot

Tillägg: 22 jan 2023 23:26

redigerat

Varför blev -px - 8 till -p + 8?

Och varför försvann p helt och hållet sedan?

Laguna skrev:

Varför blev -px - 8 till -p + 8?

Och varför försvann p helt och hållet sedan?

glömde skriva x efter -p, ska vara -px +8

Jag skrev -8 till + 8 eftersom du sade q skall vara 8? Men blir inte -8 + 8 = 0? 

Jag skriver -8 + 8 eftersom om q är 8 så omskriver jag den till 8 och eftersom på högerleden av ekvationen är -8 så blir det +8 på vänsterled vilket blir = 0. q försvinner

Och eftersom q är = 8 så måste qx^2 = 8x^2 på ekvationen du skrev

x^4+px^3+qx^2-x^2-px-q = x^4-6x^3+7x^2+6x-8

ger q = 8, och då har vi

x^4+px^3+8x^2-x^2-px-8 = x^4-6x^3+7x^2+6x-8

eller

x^4+px^3+7x^2-px = x^4-6x^3+7x^2+6x

vilket ger p = -6 (rättat, jag skrev q förut)

Så x^4+6x^3+7x^2-px = x^4-6x^3+7x^2+6x

=>

12x^3-6x = 0?

=>

6x(2x^2-2) = 0

=>

men då saknas en blandterm för att ge en andragradspolynom för pqformel och kvadratkomplettering?

P försvinner ju helt och hållet

(Eller ska man skriva en ’’+1’’ eftersom det kanske finns en osynlig +1 när man tog bort konstant termen innan?)

=> 3(4x^2-2x+1) = 0?

Nej, nu blandar du ihop det lite grann.

Din ansats var att polynomet kan faktoriseras som (x-1)(x+1)(x²+px+q).

Du har bestämt p = -6 och q = 8, vilket ger dig ansatsen (x-1)(x+2)(x²-6x+8).

För att hitta de två återstående nollställena kan du nu lösa ekvationen x²-6x×8 = 0.

Yngve skrev:

Nej, nu blandar du ihop det lite grann.

Din ansats var att polynomet kan faktoriseras som (x-1)(x+1)(x²+px+q).

Du har bestämt p = -6 och q = 8, vilket ger dig ansatsen (x-1)(x+2)(x²-6x+8).

För att hitta de två återstående nollställena kan du nu lösa ekvationen x²-6x×8 = 0.

TACK!!! NU FÖRSTÅR JAG!!!

Tack alla andra också!