y'' + ay' + 2y = 2x + 1 ???

Hej och välkommen till pluggakuten!!!

Den karakteristiska ekvationen är ju $r^2+ar+2=0$ vad måste a vara för att denna andragrads ekvation ska få en dubbel root?

Och prova sätta $y=bx+c$ in i ekvationen och lös för b, samt c.

Hej, tack så mycket! Jag har nu fått fram att a= ± √8. Vet dock inte hur jag nu ska uttrycka diffekvationen ?

Förstår heller inte vad du mena med att använda y=bx+cy=bx+c in i ekvationen och lös för b, samt c.

du uttrycker det bara som $y\text{'}\text{'}\pm \sqrt{8}y\text{'}+2y=2x+1$

När jag sa prova sätta in $y=bx+c$ menar jag bara att beräkna vad differential ekvationen hade varit ifall y=bx+c som följande:

ifall y=bx+c så 

$y\text{'}=b$ och $y\text{'}\text{'}=0$ (bara vanlig derivata)

Sen ifall man stoppar in detta så får man $$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}+\sqrt{8}y\text{'}+2y=2x+1 \\ 0+\sqrt{8}b+2(bx+c)=2x+1 \\ 2bx+(\sqrt{8}b+2c)=2x+1 \end{gathered}$$ nu äre bara att lösa ekvationen $$\begin{gathered} 2bx=2x\to b=1 \\ \left(\sqrt{8}b+2c\right)=\left(\sqrt{8}+2c\right)=1\to c=\frac{1-\sqrt{8}}{2} \end{gathered}$$därför är partikulär lösning $y=x+\frac{1-\sqrt{8}}{2}$

Kallaskull skrev:

du uttrycker det bara som $y\text{'}\text{'}\pm \sqrt{8}y\text{'}+2y=2x+1$

När jag sa prova sätta in $y=bx+c$ menar jag bara att beräkna vad differential ekvationen hade varit ifall y=bx+c som följande:

ifall y=bx+c så 

$y\text{'}=b$ och $y\text{'}\text{'}=0$ (bara vanlig derivata)

Sen ifall man stoppar in detta så får man $$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}+\sqrt{8}y\text{'}+2y=2x+1 \\ 0+\sqrt{8}b+2(bx+c)=2x+1 \\ 2bx+(\sqrt{8}b+2c)=2x+1 \end{gathered}$$ nu äre bara att lösa ekvationen $$\begin{gathered} 2bx=2x\to b=1 \\ \left(\sqrt{8}b+2c\right)=\left(\sqrt{8}+2c\right)=1\to c=\frac{1-\sqrt{8}}{2} \end{gathered}$$därför är partikulär lösning $y=x+\frac{1-\sqrt{8}}{2}$

Tack så mycket! Men dock så ser jag inte hur villkoren blivit uppfyllda. Jag får att y(0)= 1.9 eller -0,9. Inte 1 som det bör vara. Och y'(0)= 1 fast det ska vara 2?

Ursäkta för sent svar

Du har helt rätt, grejen är att när vi skriver lösningen till en differential ekvation är det $y=y_h+y_p$där $y_h$är den generella lösningen och $y_p$ är partikulär lösningen. Av den första delen kan vi få att $r=-\frac{\sqrt{8}}{2}$ , så en generell lösning är $c_1{e}^{-\frac{\sqrt{8}}{2}x}$  so far so good?

En annan grej att nämna är att ifall vi har en dubbelrot k så kommer de två generella lösningar $c_1·e^{kx}+c_2·x·e^{kx}$så i ditt fall kommer vi få $y_h=c_1{e}^{-\frac{\sqrt{8}}{2}x}+c_2·x·e^{-\frac{\sqrt{8}}{2}x}$

 ifall vi adderar detta till partikulär lösningen kan vi bestämma $c_1$och $c_2$ så båda villkoren stämmer.