4 svar
72 visningar
L_RForAM är nöjd med hjälpen
L_RForAM 5
Postad: 25 jul 2023 11:08

y' = ex(y+y2) som uppfyller y(1) = 1

Frågan: Bestäm den lösning till differentialekvationen y' = ex(y+y2) som uppfyller y(1) = 1

Jag förstår inte hur man löser denna uppgift även med svaret. Vore tacksam om någon kan förtydliga stegen markerade som (*) där jag inte hänger med.

 

1) Först noterar jag att det är en separabel DE och dividerar bägge sidor med (y+y2) och integrerar. 

 

2) För att kunna bestämma primitiv funktion partialbråkuppdelar jag integranden och som ger log(y) - log(1+y) (1)

(*) Men här står det att man kan skriva om (1) som log y/1+y=ex+C (2)

Om vi sätter in villkoret får  vi C = log(1/2)-e  vilket jag hänger med på.

Jag förstår inte hur man skriver om (1) till (2)?

 

3) Det står sedan att (2) är ekvivalent med y1+y=eex+C

Jag förstår det som att vi logaritmerar på båda led.

(*)Vi antar att y är positiv (vilket i alla fall stämmer lokalt kring x = 1 på grund av

begynnelsevärdet) som ger oss:

y=(1-eex+C)=eex+C(3)

Vilket tillsammans ger oss:

y(x)=12eex+e1-12eex+e(4)

Jag förstår inte hur vi får(3)?  

 

Tack på förhand!

Tomten 1753
Postad: 25 jul 2023 14:49

Primitiv fkn till 1/x är ln|x|. Sedan är det loglagen ln a - ln b = ln (a/b) som gör det du frågar om i första frågan.

Om vi, som du föreslår, säger att y är positiv i en omgivning till x=1 så är VL= y/(1+y) Löser vi ut y får vi det som står (tror jag).

L_RForAM 5
Postad: 26 jul 2023 07:57

Tack för att du förtydligade första delen, hade helt missat loglagen. 

Har fortfarande svårt att få till andra delen av min fråga, skulle du kunna visa mellanstegen för hur vi kommer fram till (3)

Tomten 1753
Postad: 26 jul 2023 10:12 Redigerad: 26 jul 2023 10:26

Jag sätter HL i (2) till a och har då ln(y/(y+1))= a ==> y/(y+1)=e==> y=ea(y+1) ==> y(1-ea)=ea ==> y=ea/(1-ea) Detta motsvarar (4) innan vi bestämt konstanten C som ingår i mitt a.

Håller med dig om att (3) i första påseende ser direkt felaktig ut, t ex kan den sista likheten ej gälla för alla x. Tror däremot att den kan vara ett led i att bestämma C. Sätt in x=1 i (3) får du se vad som händer.

L_RForAM 5
Postad: 27 jul 2023 08:10

Tack för hjälpen! 

Svara Avbryt
Close