y´(x)=cosv

Hur går det att bevisa att y(x)=sinx y´(x)=cosx?

samt

Hur går det att bevisa att y(x)=cosx y´(x)=-sinx?

Tacksam för hjälp!

Om man använder sig av derivatans definition får man:

$y (x) = \sin (x) y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h}$

man kan utveckla detta med summaformeln för sinus:

$y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \sin (h) \cos (x) - \sin (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (\cos (h) - 1)}{h} + \frac{\cos (x) \sin (h)}{h} = = \lim_{h \to 0} (\sin (x) \frac{\cos (h) - 1}{h}) + \lim_{h \to 0} (\cos (x) \frac{\sin (h)}{h})$

Eftersom $sin(x)$ och $cos(x)$ är konstanter kan dessa plockas ut:

$= \sin (x) \lim_{h \to 0} (\frac{\cos (h) - 1}{h}) + \cos (x) \lim_{h \to 0} (\frac{\sin (h)}{h})$

De kvarstående gränsvärdena måste man visa geometriskt (om man inte använder ett trick som involverar derivatan), men jag nöjer mig med att säga att $cos(h)-1$ -gränsvärdet går mot $0$ och $sin(h)$ -gränsvärdet går mot $1$ , och då får man:

$= \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cdot 1 = \cos (x)$

När man väl vet att derivatan av $sin(x)$ är det ganska mycket enklare att klura ut derivatan av $cos(x)$ . Jag låter dig klura själv, men ett tips är att använda följande samband:

$\cos (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

AlvinB skrev:
Om man använder sig av derivatans definition får man:
$y (x) = \sin (x) y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h}$
man kan utveckla detta med summaformeln för sinus:
$y' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \sin (h) \cos (x) - \sin (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (\cos (h) - 1)}{h} + \frac{\cos (x) \sin (h)}{h} = = \lim_{h \to 0} (\sin (x) \frac{\cos (h) - 1}{h}) + \lim_{h \to 0} (\cos (x) \frac{\sin (h)}{h})$
Eftersom $sin(x)$ och $cos(x)$ är konstanter kan dessa plockas ut:
$= \sin (x) \lim_{h \to 0} (\frac{\cos (h) - 1}{h}) + \cos (x) \lim_{h \to 0} (\frac{\sin (h)}{h})$
De kvarstående gränsvärdena måste man visa geometriskt (om man inte använder ett trick som involverar derivatan), men jag nöjer mig med att säga att $cos(h)-1$ -gränsvärdet går mot $0$ och $sin(h)$ -gränsvärdet går mot $1$ , och då får man:
$= \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cdot 1 = \cos (x)$
När man väl vet att derivatan av $sin(x)$ är det ganska mycket enklare att klura ut derivatan av $cos(x)$ . Jag låter dig klura själv, men ett tips är att använda följande samband:
$\cos (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

aha okej! Jag hänger med nu på de både! Tack för hjälpen!

Svara