Ytintegral

Har du ritat någon bild? Hur ser området ut?

Kan du parametrisera ytan? T.ex. som  $x$ och $y$ då är  $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ för någon funktion $z(x,y)$. En annan tänkbar parameterframställning bygger på cylinderkoordinater,  $\rho$ och $\theta$.

Kan du beräkna en normal till ytan (använd parameterframställningen).

Ställ upp integralen.

Hej , igen är det rätt figur 

Nej, det ser inte rätt ut. Hur ser ytans skärning med x-y-planet (dvs planet z = 0) ut? Hur ser ytans skärning med planet z = 1 ut? Hur ser ytans skärning med x-z-planet (y = 0) ut?

Jag förstår inte din figur alls.

Här är ytan ritad i WolframAlpha.

ved z=0, får vi enhetscirkel. ved z=1 får vi cirkel med radie 2, ved y=0 får vi z=sqrt(x^2)-1

Du får nog rita en bättre figur om du skall kunna lösa denna.

Du får en enhetscirkel i planet z = 0. Rita in denna i ett diagram. Du får en cirkel med radien $\sqrt{2}$ i planet z = 1. Rita även in den i diagrammet.

Då y = 0 har vi att x² - z² = 1, 0 $\le$z $\le$1. Dvs delar av en hyperbel i x-z-planet. Rita in detta i diagrammet.

Då x = 0 har vi på liknande sätt delar av en hyperbel i y-z-planet. Rita in detta i diagrammet.

Om du gjort detta borde du ha en ganska klar bild av hur ytan ser ut.

Sedan gav Jroth ett tips om att se ytan som parmetriserad med x, y som oberoende variabler och z som beroende variabel. $\overrightarrow{r} = (x, y, z(x, y\left)\right).$ Vad är uttrycket för z(x, y)? Vilket område får (x, y) ligga i med denna prametrisering?

Det finns en formel för det vektroriella ytelementet baserat på en parametrisering

$d\overrightarrow{S} = \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial y}dxdy.$

$dS = \left|d\overrightarrow{S}\right|$.

Hoppas du kommer vidare nu.

Hej, jag kom from till detta 

Hej, jag kom from till det resultatet , och undrar om det är rätt

Bättre, men cirkeln i x-y-planet skall gå genom ändpunkterna på hyperbel-grenarna. Därmed får du något som liknar mantelytan på en "fruktskål".

hej, och tack så mycket, no hade jag fåt det vektoriella ytelementet, men jag undrar på ska vi nu byte integranden z med sqrt(x^2+y^2-1)

Vad fick du dS till?

$$\begin{gathered} d\overrightarrow{S} = \left(\frac{-x}{z}, \frac{-y}{z}, 1\right)dxdy \\ dS = \left|d\overrightarrow{S}\right| = ? \end{gathered}$$

menar du längden av dS eller absolutbeloppet 

om längden då blir dS lik ((x^2/z^2+y^2/z^2+1), där z^2 är lik  x^2+y^2+1

Längden av en vektor och beloppet av en vektor är samma sak. Men du tappar bort dxdy hela tiden. Och du glömmer att ta roten ur.

dS = $\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{z}dxdy =\frac{\sqrt{2(x^2+y^2)-1}}{z}dxdy$.

$\int {\int }_{S}zdS = \int {\int }_D\sqrt{2(x^2+y^2)-1}dxdy, D = \left\{(x, y): 1\le x^2+y^2\le 2\right\}$.

hej, igen menar du att dS= 1/z(-x,-y,z) och därmed blir längden av vektorn dS=sqrt(x^2+y^2+z^2)/z

$$\begin{gathered} d\overrightarrow{S} = \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial y}dxdy = (\frac{-x}{z}, \frac{-y}{z}, 1)dxdy \\ dS = \left|d\overrightarrow{S}\right| = \sqrt{{\left(\frac{-x}{z}\right)}^2+{\left(\frac{-y}{z}\right)}^2+1^2} dxdy = \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{z}dxdy = ... \end{gathered}$$

Tänk på att $d\overrightarrow{S}$ är en vektorstorhet, men dS är en skalär storhet.

hej, tack så mycket, nu förstår jag bättre