Ytintegral

Hej! Sitter lite fast på denna ytintegralen, hittills har jag kommit fram att jag ska integrera dubbelintegralen här, $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x + y}{\sqrt{2 x y}}$ , varenda metod jag kommer på är jobbig och att blanda in andra koordinater hade också varit svårt, hur ska jag göra? Svaret är också lite konstigt, denna integral ger mig $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ .

I facit står följande: 8√2/3 (Ledtråd: Arean är dubbelt så stor som arean för motsvarande del av ytan z = √2xy.) Här har de helt tappat mig, varför är det så?

Ekvationen $z^2 = 2xy$ där $0\le x,y \le 1$ beskriver två ytor som är varandras spegelbilder, så de har samma area.

Den ena ytan är $z = \sqrt{2xy}$ och den andra ytan är $z = -\sqrt{2xy}$ . Man kan alltså beräkna arean för $z = \sqrt{2xy}$ och sedan kommer totala arean vara dubbelt så stor när spegelbilden medräknats.

Integralen som du fått kan lösas relativt lätt genom att dela upp täljarens termer och sedan potenslagarna

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 \frac{x+y}{\sqrt{2xy}}\,dx\,dy = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 \int_0^1 x^{1/2} y^{-1/2} + x^{-1/2}y^{1/2}\,dx\,dy$ .

Primitiva funktioner är inte svåra att hitta här.

Svara