11 svar
80 visningar
coffeshot 185
Postad: 23 feb 19:29 Redigerad: 23 feb 19:31

Ytintegral av parameteryta

Hej! Jag sitter fast på denna uppgift, eftersom jag inte förstår hur facit får det till π2+ln(1+2)2\pi \frac{\sqrt{2}+\ln (1+\sqrt{2})}{2}. Det är en "svår uppgift" enligt uppgiftslydelsen, så jag antar att jag har missat något.

"Beräkna arean av ytan YY som parametriseras genom r(s,t)=(scost,ssint,t)\vec r(s,t)=(s\cos t,s\sin t, t) där 0s10\leq s \leq 1 och 0tπ0\leq t \leq \pi."

Min lösning:

Först och främst tänker jag ytintegral, S|r'u×r'v|\iint_S \lvert r'_u \times r'_v \rvert.

Jag får

|r'u×r'v|=|sint-costs|=1+s2\lvert r'_u \times r'_v \rvert = \lvert \begin{pmatrix}sin t\-cos t\ s\end{pmatrix} \lvert = \sqrt{1+s^2}

Därav får jag integralen 0π01s1+s2dsdt=π01s1+s2=π2122udu\int_0^{\pi}\int_0^1 s\sqrt{1+s^2}dsdt = \pi \int_0^1 s\sqrt{1+s^2} = \frac{\pi}{2} \int_1^2 2\sqrt{u}du

vilket inte innehåller något ln\text{ln} i sig, vilket är det facit söker. Vad gör jag för fel?

Trinity2 Online 1353
Postad: 23 feb 21:36

Jag fann denna från KTH som liknar din uppg.

så det kan vara att facit har fel.

coffeshot 185
Postad: 23 feb 22:08
Trinity2 skrev:

Jag fann denna från KTH som liknar din uppg.

så det kan vara att facit har fel.

Skulle du kunna skicka en länk till vart du hittade detta?

Trinity2 Online 1353
Postad: 23 feb 22:24 Redigerad: 23 feb 22:25

Funkar denna länk?

 

https://www.google.com/search?q=Ytintegral+av+parameteryta&rlz=1C5CHFA_enSE915SE915&oq=Ytintegral+av+parameteryta&gs_lcrp=EgZjaHJvbWUyBggAEEUYOTIGCAEQRRg80gEHNDY5ajBqN6gCALACAA&sourceid=chrome&ie=UTF-8#ip=1:~:text=SF1626%20Flervariabelanalys%20%2D%20F%C3%B6rel%C3%A4sning,courses%20%E2%80%BA%20files%20%E2%80%BA%20download

 

Det är 5:e resultatet; SF1626 Flervariabelanalys - Föreläsning 15

PATENTERAMERA 5437
Postad: 23 feb 22:41

Obs din integral skall vara π011+s2ds. Du fick med ett extra s.

En framkomlig väg är att göra variabelbyte s = sinh(u).

Bra att känna till:

arsinh(x) = ln1+1+x2

cosh2x - sinh2x = 1.

Trinity2 Online 1353
Postad: 23 feb 23:28
PATENTERAMERA skrev:

Obs din integral skall vara π011+s2ds. Du fick med ett extra s.

En framkomlig väg är att göra variabelbyte s = sinh(u).

Bra att känna till:

arsinh(x) = ln1+1+x2

cosh2x - sinh2x = 1.

Även s=tan(u) är möjlig, men inte speciellt trevlig. Man får anta att det finns någon formelsamling…

coffeshot 185
Postad: 24 feb 10:59
PATENTERAMERA skrev:

Obs din integral skall vara π011+s2ds. Du fick med ett extra s.

En framkomlig väg är att göra variabelbyte s = sinh(u).

Bra att känna till:

arsinh(x) = ln1+1+x2

cosh2x - sinh2x = 1.

Njae, jag tänkte att det extra ss-et var att byta till polära koordinater när jag integrerar. Eller behövs det inte i detta fall, eftersom parametriseringen redan är uttryckt i polära koordinater?

PATENTERAMERA 5437
Postad: 24 feb 14:46

Nej, något extra s behövs inte. Vi byter ju aldrig koordinater utan använder de parametrar, s och t, som redan är givna.

coffeshot 185
Postad: 24 feb 15:00
PATENTERAMERA skrev:

Nej, något extra s behövs inte. Vi byter ju aldrig koordinater utan använder de parametrar, s och t, som redan är givna.

Jaha, ja men då inser jag vad jag gjort för fel! Då ska jag göra integrationen lite senare igen i eftermiddag och återkomma:)

coffeshot 185
Postad: 24 feb 16:56

Hm. Integralen är nog lite för svår för mig just nu. Kanske just för att vi aldrig gick igenom hyperbolicus-funktionerna i envariabelanalys. Får lägga den på att göra listan med lite lägre prio tyvärr. Förstår dock vad jag gjorde för fel i övrigt, det viktiga tycker jag är att jag vet hur integralen ska bestämmas.

Trinity2 Online 1353
Postad: 24 feb 20:39
coffeshot skrev:

Hm. Integralen är nog lite för svår för mig just nu. Kanske just för att vi aldrig gick igenom hyperbolicus-funktionerna i envariabelanalys. Får lägga den på att göra listan med lite lägre prio tyvärr. Förstår dock vad jag gjorde för fel i övrigt, det viktiga tycker jag är att jag vet hur integralen ska bestämmas.

Har du Månsson/Nordbeck? Isf se Exempel 12.29 som visar på ett bra knep för denna som gör det lätt. Det förutsätter dock att man kan integralen (12.12) vilket kanske inte är helt självklart.

coffeshot 185
Postad: 25 feb 10:55
Trinity2 skrev:
coffeshot skrev:

Hm. Integralen är nog lite för svår för mig just nu. Kanske just för att vi aldrig gick igenom hyperbolicus-funktionerna i envariabelanalys. Får lägga den på att göra listan med lite lägre prio tyvärr. Förstår dock vad jag gjorde för fel i övrigt, det viktiga tycker jag är att jag vet hur integralen ska bestämmas.

Har du Månsson/Nordbeck? Isf se Exempel 12.29 som visar på ett bra knep för denna som gör det lätt. Det förutsätter dock att man kan integralen (12.12) vilket kanske inte är helt självklart.

Nej, jag har Adams (Calculus). Den boken rymmer väl dock allt, så det finns säkert något knep där någonstans med. Kan kika!

Svara Avbryt
Close