z=1+2i i olika uppgifter komplexa tal

En bra början kan vara att skriva om z till polär form och därefter ställa upp den binomiska ekvationen: 
$u^2=z$

$$\begin{gathered} u=\left|u\right|e^{i\theta } \\ z=\left|z\right|e^{i arg\left(z\right)} \end{gathered}$$

Beräkna $\left|z\right| \mathrm{och} \arg \left(\mathrm{z}\right)$för att komma vidare. 

vet inte ens hur jag börjar med ett sådant svårt tal. fattar ingenting. 

Groblix skrev:

En bra början kan vara att skriva om z till polär form och därefter ställa upp den binomiska ekvationen: 
$u^2=z$

$$\begin{gathered} u=\left|u\right|e^{i\theta } \\ z=\left|z\right|e^{i arg\left(z\right)} \end{gathered}$$

Beräkna $\left|z\right| \mathrm{och} \arg \left(\mathrm{z}\right)$för att komma vidare. 

absolutbeloppet är $\sqrt{5}$

och arg(z)= $\sqrt{5}\left(\cos \right(arc\tan 2)+i \sin (arc\tan 2)$

eller?

En detalj bara:

arg(z) = arctan(2) 

$z= \sqrt{5}\left(\cos \right(arc\tan 2)+i \sin (arc\tan 2)$)

Ja, eller det var väl det jag skrev?

Arctan 2 blir $\approx$63 grader

hur går jag vidare nu då? förstod inte vad som menades där uppe med u^2=z osv. 

Du ska alltså dra roten ur z.

Det gör man enklast genom att dra roten ur beloppet och dela argumentet med 2. Men då ska man tänka på att sin och cos funktionerna är periodiska.

$z= \sqrt{5}\left(\cos \right(arc\tan \left(2\right)+2n\pi )+i \sin (arc\tan \left(2\right)+2n\pi \left)\right)$

så 

$z^{0,5}= \sqrt[4]{5}\left(\cos \right(\frac{arc\tan \left(2\right)+2n\pi }{2})+i \sin (\frac{arc\tan \left(2\right)+2n\pi )}{2}\left)\right)$

där n kan vara 0 eller 1

Ett alternativt sätt att lösa uppgiften är att ansätta u = a+bi

då får du ekvationen 

(a+bi)² = 1+2i

utveckla VL och separera imaginärdel och realdel samt lösa ut a och b.

Om jag löser uppgiften med u=a+bi

$x^2+2xiy+i{y}^2= 1 + 2i$

hur går jag vidare med att hitta imaginär- samt realdel? tycker det blev svårt när det blev "2xiy"

ellenellen skrev:

Om jag löser uppgiften med u=a+bi

 

$x^2+2xiy+i{y}^2= 1 + 2i$

 

hur går jag vidare med att hitta imaginär- samt realdel? tycker det blev svårt när det blev "2xiy"

Du har gjort ett litet fel i kvadreringen, ska vara

x²+2xyi + (iy)² = 1+2i

vilket förenklat blir

x²-y² +2xyi = 1+2i

realadelen är helt enkelt alla termer som inte innehåller ngt i

x²-y² = 1

imaginärdelen är de delar som innehåller ett i

2xy = 2

Nu har du två ekvationer i x och y, återstår att lösa ekvationssystemet.

Har gjort sånna här uträkningar tidigare med addition i polär form och ändra till u=a+bi form men tycker det blir svårt när det inte finns fler siffror så man har något att utgå ifrån. Jag vet inte hur jag ska få fram och lösa ekvationssystemet, det är det som är problemet. 

2xy=2 har ju både x och y i sig, samma med realdelen. Blir det fyra lösningar då?

x=1/y

och y=1/x 

eller?

och hur blir realdelen?

Sätt in y = 1/x i den första ekvationen och lös ut x

Vilken menar du är första ekvationen? Alltså x^2-y^2=1 ?

$x^2-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2=1$

?

Fastnar här liksom 

ellenellen skrev:

Vilken menar du är första ekvationen? Alltså x^2-y^2=1 ?

$x^2-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2=1$

 

?

multiplicera bägge led med x² 

x⁴- 1 = x² <=> x⁴-x²-1 = 0

Detta är en fjärdegradare, men vi har bara 4e och andragradstermer, så antingen substituerar du t = x² eller löser ut x² direkt med pq, jag visar det senare alternativet

x² = 1/2 +- (1/4+1)^0,5

$x^2 =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

eftersom x ska vara reellt så kan vi utesluta den negativa lösningen i nästa steg

nu drar vi roten ur bägge led och får då

$x =\sqrt{\hspace{0.17em}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$

kan du nu lösa y själv?

Blir inte x;

x$=\pm \frac{\sqrt{-2+2\sqrt{5}}}{2}$

jag får det till det...

det sk mycket riktigt bli två lösningar, har jag räknat fel? Hur kom du fram till ditt svar?