5:e grads ekvation

Argumentet för i är pi/2.

Ah jag upptäckte det nu när jag ritade det i komplexa talplanet

Hade även ett annat arguemt varit $\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$?

Arup skrev:

Hade även ett annat arguemt varit $\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$?

Prova. Rita i din figur. 

Du vet ju att ett varv är 2*pi radianer. 

jag tror det stämmer

Nej. 

Man utgår från reella axeln,  dvs "klockan tre".

Vrid moturs, till i, dvs till "klockan tolv". Det är ett kvarts varv, som du har kommit fram till.  Nittio grader, pi/2 radianer. 

3*pi/2 radianer är 270 grader,  trekvarts  varv. Då hamnar vi på "klockan sex".

Ett slarvfel: Sista långa ekvationen på första bilden har i(sin(0)) i högerledet. 

Det skall ju vara i, inget annat.  Det är ju just själva uppgiften. 

Sedan har du skrivit r^5 = i.

Men r^5 är reellt och i är imaginärt. 

ok, vad ska det stå istället ?

Enklast är att skriva din ursprungliga ekvation på polär form.

Du har skrivit ditt z på polär form,  men vad är i på polär form?

Jag gjorde så här

Första raden rätt 

Andra raden rätt 

Tredje raden fel. Ser du felet?

Arup skrev:

Jag gjorde så här

Det stämmer inte.  Jag föreslår att du använder standardmetoden jag beskrev i detta svar på din andra uppgift.

Det gäller att hålla ordning på

beloppet, "längden på pilen", "avståndet till origo". Det är alltid positivt. 

Och

argumentet, vinkeln från reella axeln, "vinkeln från klockan tre"

Ett komplext tal kan skrivas som

belopp*(cos(arg) + i*sin(arg))

Är det här bättre

Arup skrev:

Är det här bättre

[...]

Ja, mycket bättre!

Det blev lite fel på z₄, men annars ser allt bra ut.

Om du vill säkerställa att du har grepp på metoden så kan du pröva den på ekvationen $z^3+32\sqrt{3}i-32=0$

Hur fick du  fram ekvationen

$z^3+32\sqrt{3i}-32=0 ?$

Jag hittade på den.

Men det står $32\sqrt{3}\cdot i$, inte $32\sqrt{3i}$.

Då skulle jag nog omvandla till polär form

Arup skrev:

Då skulle jag nog omvandla till polär form

Ja, standardmetoden fungerar bra här. Om du vill pröva så hjälper vi gärna dig.

Jag undrar hur kommer det sig att 

$z=\left(\cos \right(\frac{17}{10}\mathrm{\pi }+\frac{2}{5}\mathrm{\pi k})+\mathrm{isin}(\frac{17}{10}\mathrm{\pi }+\frac{2}{5}\mathrm{\pi k}\left)\right)$

Ger alla lösningar ?

Arup skrev:

Jag undrar hur kommer det sig att 

$z=\left(\cos \right(\frac{17}{10}\mathrm{\pi }+\frac{2}{5}\mathrm{\pi k})+\mathrm{isin}(\frac{17}{10}\mathrm{\pi }+\frac{2}{5}\mathrm{\pi k}\left)\right)$

Ger alla lösningar ?

Jag trodde du hade kommit fram till det själv, men det har du alltså inte? Om inte, varifrån har du fått det uttrycket?

nej, jag räkna ut de fem lösningarna för hand( om du inte tror mig, kanske du känner av min hanstil) och sen kikade på den här tråden

https://www.pluggakuten.se/trad/komplex-ekvation-14/

Där du presenterade standardmetoden. Du skrev senare i ditt påhittade exempel att alla lösningar kunde beskrivas med en ekvation, förutsatt att man visste vad perioden och vinkeln var. Men jag inte varför det kunde skrivas så.

Tillägg: 2 apr 2026 21:27

Eller tror nog jag fattar logiken 

eftersom om jag vet vad den femte vinkeln och perioden kommer att bli så kan jag representera lösningen med en ekvation. Eller ?

Arup skrev:

nej, jag räkna ut de fem lösningarna för hand( om du inte tror mig, kanske du känner av min hanstil) och sen kikade på den här tråden

Det är inte så att jag inte tror dig, men ibland skriver du saker som du fått av någon annan utan att fråga vad det betyder. Då tror vi att du har mer koll än vad du har, villet leder till onödigt långa dialoger här.

 

https://www.pluggakuten.se/trad/komplex-ekvation-14/

Där du presenterade standardmetoden. Du skrev senare i ditt påhittade exempel att alla lösningar kunde beskrivas med en ekvation, förutsatt att man visste vad perioden och vinkeln var. Men jag inte varför det kunde skrivas så.

Nej, jag skrev att alla lösningar kunde beskrivas med ett uttryck, inte en ekvation.

 

Tillägg: 2 apr 2026 21:27

Eller tror nog jag fattar logiken 

eftersom om jag vet vad den femte vinkeln och perioden kommer att bli så kan jag representera lösningen med en ekvation. Eller ?

Lite osäker på vad du menar.

Är du med på att talen 1, 3, 5, 7 och 9 kan beskrivas som 1+2n, där n = 0, 1, 2, 3 och 4?

ja

Bra.

Är du då även med på att talen 1, 5, 9, 13 och 17 kan skrivas som 1+4n, där n = 0, 1, 2, 3, och 4?

japp, de bara stoppa in talen

Bra.

Är du då även med på att talen $\frac{\pi}{10}$, $\frac{5\pi}{10}$, $\frac{9\pi}{10}$, $\frac{13\pi}{10}$ och $\frac{17\pi}{10}$ kan skrivas som $\frac{\pi}{10}+n\cdot\frac{4\pi}{10}$?

jA

Tillägg: 3 apr 2026 10:16

Jag tror nog att jag har förstått.

Arup skrev:

jA

---

Tillägg: 3 apr 2026 10:16

Jag tror nog att jag har förstått.

OK bra, men fråga om du vill få mer förklaring.

Har du prövat att lösa uppgiften med "exponentiell polär form", som hansa beskrev här och jag förklarade lite mer här?

Yngve skrev:

Arup skrev:

jA

---

Tillägg: 3 apr 2026 10:16

Jag tror nog att jag har förstått.

OK bra, men fråga om du vill få mer förklaring.

Har du prövat att lösa uppgiften med "exponentiell polär form", som hansa beskrev här och jag förklarade lite mer här?

Nu har jag det

Jag visar även en illustration av lösningarna hämtat från wolframalpha

Arup skrev:

Nu har jag det

Bra, metoden och svaret ör rätt 

Det enda jag saknar är en tydlig beskrivning av vad de nya storheterna u, v och r står för.

Förslag, som följer standardmetoden jag har beskrivit tidigare:

$z^5=w$, där $w=i$

Skriv HL på exponentiell polär form:

$w=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}$. Detta kan anses vara känt men illustreras gärna av en liten bild.

Ansätt $z=re^{iv}$, vilket ger $z^5=r^5e^{5iv}$

Det ger ekvationen

$r^5e^{5iv}=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}$ 

Vi får då

• $r^5=1$, dvs $r=1$
• $5v=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, dvs $v=\frac{\pi}{10}+2k\frac{\pi}{5}$

Och så vidare.

Jag undrar när vi skriver på exponentiell form så anger vi alla lödningar i ett uttryck och inte fem olika svar som jag gjorde när jag löste det i polär form. Hur kommer det sig ?

Vi skriver ofta ett oändligt antal lösningar därför att vi anger ett oändligt antal argument. 

Men det blir ändå bara fem olika komplexa tal. Alla andra argument innebär bara att vi ökar vinkeln med N hela varv.

Arup skrev:

Jag undrar när vi skriver på exponentiell form så anger vi alla lödningar i ett uttryck och inte fem olika svar som jag gjorde när jag löste det i polär form. Hur kommer det sig ?

Vi kan ge fem specifika svar även här:

$z_1=e^{i\frac{\pi}{10}}$

$z_2=e^{i\frac{5\pi}{10}}=e^{i\frac{\pi}{2}}$

$z_3=e^{i\frac{9\pi}{10}}$

$z_4=e^{i\frac{13\pi}{10}}$

$z_5=e^{i\frac{17\pi}{10}}$

En bra sak att tänka på här är att följande samband gäller: $e^{iv}=\cos(v)+i\cdot\sin(v)$.

Exponentiell polär form är alltså endast ett annat och kortare sätt att skriva det komplexa talet.

En bra övning (som mycket väl kan dyka upp på ett prov) är att härleda ovanstående samband från Eulers formler.