10 svar
43 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 600
Postad: 2 jun 2019 Redigerad: 2 jun 2019

Absolutbelopp utan räknare

Jag har det komplexa talet

z=(10+4i)(1+8i)(8+10i)(−1+11i)(10+4i)

och ska beräkna ∣z∣av det.

Jag ska inte svara på formen a+bi för man får inte ha i i svaret.

Jag har tidigare fått svar på denna uppgift här på Pluggakuten, men nu önskar jag få hjälp att kunna räkna ut svaret utan räknare.

Jag vet att absolutbeloppet är avståndet till origo i det komplexa talplanet och jag vet att man bestämmer absolutbeloppet genom att ta

z=a2+b2.

Jag gör så här:

z=(102+42)(12+82)(82+102)(-12+112)==(116)(65)(164)(122)12283.

Jag kan räkna ut för hand

116·65·164·122=150860320,

men sedan blir det alltför svårt att Beräkna roten ur 150860320.

Jag kan uppskatta att den ligger runt 12500, men det är svårt att få ut det exakta svaret när jag räknar för hand.

Anledningen till att jag vill lära mig att räkna ut svaret utan räknare är att en sådan här uppgift kan komma på en kommande tentamen, där vi inte har tillgång till räknare och där svaret ska ges exakt.

Man skulle ju kunna tänka sig att jag svarar att absolutbeloppet är 150860320 men helst skulle jag vilja ge svaret 12283 och visa hur jag kommit fram till det utan räknare.

Jag kan ju även beräkna 116, 65, 164 och 122 med säg 3 decimalers precision och sedan multiplicera dem med varandra. Det vore ju enklare än att ta roten ur ett niosiffrigt tal.

Men är det någon som har en bättre idé kanske?

Laguna Online 4991
Postad: 2 jun 2019

Det finns några faktorer 2, så man kan göra talet under rottecknet lite mindre. Om svaret ska vara exakt så är du klar sen. 12283 är ett approximativt svar. 

Lisa Mårtensson 600
Postad: 2 jun 2019

Hej Laguna!

Du har rätt i att 12283 är ett approximativt svar, det har ju avrundats.

Skulle du kunna förklara närmare vad du menar med att det finns några faktorer 2?

Lisa Mårtensson 600
Postad: 2 jun 2019

Nu har jag kollat upp en sak vad gäller tentan. Det går bra att svara i exakt form så här:

z=(102+42)(12+82)(82+102)((-1)2+112).

Det var ju skönt!

Tack ska ni ha i alla fall för alla bra idéer!

Laguna Online 4991
Postad: 2 jun 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Hej Laguna!

Du har rätt i att 12283 är ett approximativt svar, det har ju avrundats.

Skulle du kunna förklara närmare vad du menar med att det finns några faktorer 2?

116 går att dela med 4, 164 också. Så man kan få faktorn 4 utanför rottecknet. 

Lisa Mårtensson 600
Postad: 2 jun 2019

Just det!

164=241 

Laguna Online 4991
Postad: 2 jun 2019

Så menade jag, ja. 

Tänk om man halar fram en räknesticka på provet. Det är inte en miniräknare. 

Lisa Mårtensson 600
Postad: 2 jun 2019

Ja, en räknesticka tar jag nog med mig till provtillfället ;-) Bra idé!

Albiki 3943
Postad: 2 jun 2019 Redigerad: 2 jun 2019

Hej!

Du kan förenkla beräkningen litet genom att bryta ut några faktorer så att realdel och imaginärdel blir relativt prima heltal.

    10+i4=2(5+i2)10+i4 = 2(5+i2) och 8+i10=2(4+i5)8+i10 = 2(4+i5) 

ger modulerna (det som du kallar absolutbelopp) 

    |10+i4|=2|5+i2||10+i4| = 2|5+i2| och |8+i10|=2|4+i5||8+i10| = 2|4+i5|.

Beräkningen blir då 

    4(25+4)(1+64)(16+25)(1+121)=429·65·41·122.4\sqrt{(25+4)(1+64)(16+25)(1+121)}=4\sqrt{29\cdot 65 \cdot 41 \cdot 122}.

Sedan gäller 65=5·1365 = 5\cdot 13 och 122=2·61122 = 2\cdot 61 så att den sökta modulen är 

    410·13·29·41·61.4\sqrt{10}\cdot\sqrt{13\cdot29\cdot41\cdot61}.

Lisa Mårtensson 600
Postad: 3 jun 2019

Tack så mycket Albiki

woozah 1195
Postad: 3 jun 2019

Generellt sett så har jag aldrig gjort en tentamen som kräver att du ska förenkla svar som är jättestora. Det fungerar utmärkt att svara 25! istället för att börja multiplicera 25*24*23*23...*2*1. Poängen med en tentamen är att visa om du förstått principerna i matematiken du studerar, inte om du kan förenkla 234523423423424\sqrt{234523423423424}.

Svara Avbryt
Close