Addition av funktioner som mängder

Detta brukar kallas den punktvisa additionen resp multiplikationen och det är givetvis korrekt. Ska inte förväxlas med andra möjliga kompositioner tex sammansättning f(g(x)). Det händer att litteraturen ibland är irriterande otydlig vilket som gäller.

Hur skulle man kunna konstruera f(g(x)) på liknande sätt som jag gjorde med punktvis addition och multiplikation?

Jag tror det är tillräckligt inom räckhåll för att du ska kunna göra ett eget försök först! :)

Kanske något i stil med:

$\displaystyle f \circ g:=\{ (x,f(g(x))):x\in U\;\text{och}\; \exists g(x)\; \text{sådant att}\;(x,g(x))\in g \;\text{och}\; (g(x),f(g(x)))\in f \}$

Helt rätt idé! Personligen tycker jag det är lite elegantare att undvika symbolerna "f(g(x))" och "g(x)" och i stället hålla oss till abstrakta objekt, så jag hade formulerat om det så här:

Definition. Sammansättningen av funktionerna $g:X\to Y$ och $f:Y\to Z$ är mängden

   $f\circ g:=\{{(x,z)}\in X\times Z:\exists y\in Y\:\text{sådant att}\:{(x,y)}\in g\:\text{och}\:{(y,z)}\in f\}.$

Lemma att bevisa: Sammansättningen $f\circ g$ definierad ovan är en funktion $X\to Z$.

På samma sätt hade jag skrivit att summan av två funktioner $f,g\colon X\to R$ där målmängden är en ring $(R,+,\cdot)$ är 

   $f\boxplus g=\{{(x,w)}\in X\times R:\text{$\exists y,z\in R$ sådana att ${(x,y)}\in f$, ${(x,z)}\in g$ och $y+z=w$}\}$

och motsvarande för produkten $f\boxdot g$.

Ah, jag fattar!

Anledningen till att jag insisterar på beteckningarna $f(x)$, $g(x)$ och så vidare är att jag vill påminna mig själv om hur vi går från mängdnotationen till den för oss människor mer trevliga notationen $y=f(x)$ och dylikt.

Angående lemmat om att $f\circ g : X \to Z$:

Det vi måste visa är att om $(x,z_1), (x, z_2) \in f\circ g \implies z_1 = z_2$, inte sant?

Låt $(x,z_1),(x,z_2)\in f\circ g$. Vi vet då följande:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\exists y_1:(x,y_1)\in g\; \text{och}\; (y_1,z_1)\in f\\\exists y_2:(x,y_2)\in g\; \text{och}\; (y_2,z_2)\in f\end{array}\right.$

Eftersom $g$ är en funktion vet vi att $y_1 = y_2$, och då måste också $z_1 = z_2$ eftersom även $f$ är en funktion. Etersom alla värdepar i $f\circ g$ är element i $X \times Z$ är $f\circ g$ alltså en funktion $X \to Z$.

Helt rätt! Riktigt snyggt förklarat! ^_^