10 svar

220 visningar

ConnyN är nöjd med hjälpen

Algebraiskt samband sinuskurvor

I en fråga som det inte finns facit till i Matematik Origo 4 så skriver man
”De punkter för vilka graferna till f(x) = sin x och g(x) = sin (x + C) + D
skär varandra beror av värdet på konstanterna C och D. Här låter vi C och D
vara större eller lika med noll”

Efter ett antal frågor så kommer denna sist av alla:

”Givet att graferna har gemensamma punkter:
a) Vilket värde på C ger största möjliga värde på D?
b) Finn ett algebraiskt samband som visar vilka värden D kan ha beroende av värdet
av C”

Genom att sätta sin(x) = sin(x+C) + D kunde jag med lite provande konstatera att vid

C = pi så fick vi största värdet på D = 2

D = sin(x) - sin(x + C) kunde jag använda för att testa med olika värden på C vad som hände med D.

På fråga b) har jag inte kommit på något bra. Det närmaste är med formeln jag skrev för att testa olika värden på C. Med den har jag sett att max-värdet på den kurvan är största värdet på D.
Därför tänker jag att om jag kan derivera den formeln så borde jag kunna få fram ett bra samband mellan D och C, men så har vi x också och jag kan förmodligen inte komma längre med nuvarande kunskaper, men tar gärna emot tips hur jag skulle kunna gå till väga?

Skriv om sin(x) - sin(x+C) på formen Asin(x+ $φ$ ). För att det skall finnas lösning så måste abs(D) $\leq$ abs(A).

PATENTERAMERA skrev:
Skriv om sin(x) - sin(x+C) på formen Asin(x+ $φ$ ). För att det skall finnas lösning så måste abs(D) $\leq$ abs(A).

Jag är inte riktigt med nu. Om jag gör ett diagram med D på y-axeln och C på x-axeln där C kan variera mellan 0 och 2pi så får jag ut en kurva som visar tydligt på förhållandet D(C), men jag kan inte formulera funktionen.

Om jag förstår dig rätt så när jag har sin(x) - sin(x+C) så kan jag få ut kurvor för varje värde på C och amplituden A kommer att gå från noll till två och ner till noll igen.
Hur gör man övergången från sin(x) - sin(x+C) till Asin(x+φ)? Vad representerar φ? Är det C?

Använd formeln för summa av två vinklar.

Asin(x + $φ$ ) = A(sin(x)cos( $φ$ ) + sin( $φ$ )cos(x)).

sin(x) - sin(x + C) = sin(x) - (sin(x)cos(C) + cos(x)sin(C)) = (1 - cos(C))sin(x) - sin(C)cos(x).

För att likhet skall uppstå krävs tydligen

Acos( $φ$ ) = 1 - cos(C)

Asin( $φ$ ) = -sin(C).

Vilka värden på A är möjliga? Ledning: kvadrera båda led och addera.

PATENTERAMERA skrev:
Använd formeln för summa av två vinklar.
Asin(x + $φ$ ) = A(sin(x)cos( $φ$ ) + sin( $φ$ )cos(x)).

sin(x) - sin(x + C) = sin(x) - (sin(x)cos(C) + cos(x)sin(C)) = (1 - cos(C))sin(x) - sin(C)cos(x).
För att likhet skall uppstå krävs tydligen
Acos( $φ$ ) = 1 - cos(C)
Asin( $φ$ ) = -sin(C).
Vilka värden på A är möjliga? Ledning: kvadrera båda led och addera.

Nu känner jag mig väldigt trög. Det blir inget "pling" i huvudet endast ett tjockt malande som låter snarare likt en maskin som är klart överbelastad alldeles innan den stannar och ERROR lyser på bildskärmen för den som övervakar maskinen.

Nåja jag hänger med nästan på allt du skriver, men jag är inte med på "Vilka värden på A är möjliga? Ledning: kvadrera båda led och addera." Vilket känns mycket tungt att jag inte fattar.

Jag sitter med något som ser ut så här Asin(x + φ) = (1 - cos(C))sin(x) - sin(C)cos(x) men då kanske jag blandat fel?
Kommer inte D in någonstans?

Om du hänger med på hur patenteramera hamnade här (vilket tog en bra stund för mig):

Acos(φ) = 1 - cos(C)
Asin(φ) = -sin(C)

Så tror jag att nästa steg är att kvadrera bägge ekvationer och addera HL med HL och VL med VL. Om du använder trigettan så får du A i termer av enbart C. Kombinera detta med:

abs(D) ≤ abs(A)

så är du nära ett svar, tror jag.

Det känns som en krånglig lösning. Det kanske finns ett enklare sätt men jag har inte hittat något sådant.

Kvadrera båda ekvationerna.

A²cos²( $φ$ ) = (1 - cos(C))²

A²sin²( $φ$ ) = sin²(C).

Addera dessa ekvationer och utnyttja trigonometriska ettan.

A² = 2(1 - cos(C)).

Således: A = $\sqrt{2 (1 - \cos (C))}$ , om vi för enkelhets skull endast intresserar oss för ett A som är större än eller lika med noll.

Om vi delar våra ursprungsekvationer med varandra får vi att

tan $φ$ = -sin(C)/(1-cos(C)), dvs

$φ$ = -arctan(sin(C)/(1-cos(C))).

Ekvationen Asin(x + $φ$ ) = D har en lösning om och endast om D $\leq$ A, om vi utgår från att A och D skall vara större än eller lika med noll.

Således: D $\leq$ $\sqrt{2 (1 - \cos (C))}$ .

Hej Conny.

Först tänkte jag förklara funktionen $D=\sin(x)-\sin(x+C)$ .

Funktionen består av två $\sin$ funktioner med samma vinkelhastighet, men där den andra funktionen är fasförskjuten $C$ radianer.

Om vi låter fasförskjutningen vara 0 radianer kommer de två funktionerna vara exakt lika och släcka ut varandra eftersom det är ett minustecken mellan dem. Minustecknet gör alltså att funktionerna motarbetar varandra när de ligger i fas.

Om vi däremot låter fasförskjutningen vara $\pi$ radianer kommer de två funktionerna samarbeta. När den första har ett maximum (1) kommer den andra ha ett minimum (-1) och $D$ får då värdet $1-(-1)=2$ . Samma sak gäller när den första funktionen har ett minimum (-1), då kommer den andra funktionen ha ett maximum (1) och $D=-1-1=-2$ .

När fasförskjutningen ökar ytterligare kommer de två funktionerna samarbeta sämre och sämre tills de släcker ut varandra igen vid fasförskjutningen $C=2\pi$ . Testa att dra i reglaget för C i den här grafen från $0$ till $2\pi$ :

https://www.desmos.com/calculator/ke8oyxpvkh

(Den blå bluppen under bokstaven C kan man dra i för att ändra värdet på C)

Nästa steg är att bestämma mellan vilka värden $D$ kan ligga givet en viss fasförskjutning $C$ .

För att undersöka det du t.ex. skriva om din funktion D så att den bara består av en ensam sinusfunktion $A\sin(x+\varphi)$ som Pantamera föreslår. Värdet på A avgör då mellan vilka värden D kan variera. En annan metod är att använda visardiagram och/eller cosinussatsen.

Om du kan komplexa tal så kan du göra så här också.

sin(x) - sin(x+C) = Im(e^ix) - Im(e^iC $\cdot$ e^ix) = Im((1-e^iC) $\cdot$ e^ix) = Im( $|1 - e^{i C}| \cdot e^{i a r g (1 - e^{i C})} \cdot e^{i x}$ ) =

$|1 - e^{i C}|$ $\cdot$ Im( $e^{i (x + a r g (1 - e^{i C}))}$ ) = $|1 - e^{i C}|$ $\cdot$ sin(x+arg(1-e^iC)).

${|1 - e^{i C}|}^{2} = (1 - e^{i C}) \cdot {(1 - e^{- i C})}^{*} = (1 - e^{i C}) \cdot (1 - e^{- i C}) = 1 - e^{- i C} - e^{i C} + 1$ =

$2 - 2 R e (e^{i C}) = 2 (1 - \cos (C))$ , så att

$|1 - e^{i C}| = \sqrt{2 (1 - \cos (C))}$ .

Således: sin(x)-sin(x+C)= $\sqrt{2 (1 - \cos (C))}$ $\cdot$ sin(x+arg(1-e^iC)).

Tack alla för svar. Det är väldigt uppskattat.

Ett särskilt stort tack till dig Patenteramera som lagt ner så mycket arbete på att förklara och gjort det hela tydligt.
Nu behöver jag sätta mig ner och göra en analys av mitt eget tänk och försöka pussla ihop det till en helhet.

Nu har jag gått igenom Patenterameras förslag och förstår alla detaljer, (klarar absolut inget förhör :-) men att ha tagit mig dit på egen hand hade nog knappast varit möjligt. Hela genomgången var absolut en motivationshöjande åtgärd för att fortsätta med matematiken.

Delen med komplexa tal känns avlägsen just nu. Jag har inte repeterat den delen än, men har ändå använt $j ω$ -metoden vid jordfelsberäkningar under yrkeslivet så det ska också bli intressant att förstå varför det var möjligt att tillämpa den på just jordfelsberäkningar.

Tack än en gång till er alla!

Svara Avbryt

Visa senaste svar