16 svar
200 visningar
Qetsiyah Online 4480
Postad: 10 jan 2020 Redigerad: 10 jan 2020

Analys: trigfunktioner och godtyckligt liten period

Finns nån funktion som oscillerar lika frenetiskt som sin(1/x) gör i närheten av noll fast för alla x?

(Så att om jag plottar den så ser det ut som en solid rektangel oavsett hur mycket jag zoomar)

EDIT: Ja jag kom precis på att sin(1/x) ju inte ens är en periodisk funktion, så det finns ingen period. Men ni kanske förstår ändå

Truppeduppe 71
Postad: 10 jan 2020

Tycker funktionen tan x!tan x verkar täcka det mesta av skärmen.

Ebola 1743
Postad: 10 jan 2020

Jag vet inte exakt vad du menar med "lika frenetiskt" men jag antar att du eftersöker en funktion med mycket hög frekvens för alla x. Du skulle väl kunna definiera en funktion:

f(x)=lima0(sin(xa))

Denna funktion är dock svår att plotta men du kan stoppa in valfritt litet tal istället för a och få en rektangel:

Qetsiyah Online 4480
Postad: 10 jan 2020

Truppeduppe: nääää hur ser den ut för dig?

Ebola: åh varför tänkte jag inte på det? Genialtiskt! Den beter sig ju som sin(1/x) kring noll, men för alla x.

oggih 756 – F.d. Moderator
Postad: 10 jan 2020 Redigerad: 11 jan 2020

Fast, vi får väl knappast någon väldefinierad funktion f:f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} genom att sätta f(x)=lima0sinxa\,{f(x)}=\lim_{a\to 0}\sin\left(\frac{x}{a}\right)?

Vad blir exempelvis f(1)f(1)?


Men visst, jag tycker Ebola ändå är något kul på spåret. Kanske skulle idén kunna omformuleras till att visa att det finns - om inte oändligt frenetiska funktioner - så i vart fall godtyckligt frenetiska funktioner. Det finns säkert massa sätt att formalisera detta på, men ett spontant försök är följande:

För varje ε>0\varepsilon>0 och varje K>0K>0 existerar det en slät funktion f:f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sådan att ff gör minst KK stycken teckenbyten på varje intervall av längd ε\varepsilon.

Bevis: Välj ett tillräckligt stort a>0a>0 och sätt f(x)=sin(x/a)f(x)=\sin(x/a).

Qetsiyah Online 4480
Postad: 11 jan 2020 Redigerad: 11 jan 2020

Limx->0sin(1/x) är väl inte definierat? Då ska denna funktion inte heller vara definierad nånstans eller?

Det enda jag ville ha var en ifylld rektangel egentligen, och det blir det ju. Den kanske inte är definierad någonstans pga samma anledning

oggih 756 – F.d. Moderator
Postad: 11 jan 2020 Redigerad: 11 jan 2020

Något som jag tycker talar emot att Qetsiyahs önskan om en 'oändligt frenetisk' funktion skulle gå att uppfylla är att exemplet sin1x\sin\left(\frac{1}{x}\right) egentligen inte är oändligt frenetisk någonstans i sin definitionsmängd. Ta vilket x0x\neq 0 som helst, och zooma in tillräckligt långt, så ser vi att funktionen lokalt beter sig ganska lugnt och städat, ungefär som en vanlig sinusfunktion med en, visserligen väldigt hög, men ändock ändlig period.

Punkten x=0x=0 där det intressanta oändligt urspråde beteendet tycks uppstå (och ständigt finnas kvar, hur mycket man än zoomar in!) är lite av en "skenpunkt". Den är ju faktiskt inte med i definitionsmängden! Därmed tror jag det blir svårt att hitta en funktion som immiterar just det här beteendet överallt, och samtidigt har punkter där den på riktigt är definierad.

AlvinB 3806
Postad: 11 jan 2020

Du får svårt att fylla en kvadrat med någon sinuskurva. Däremot finns det kurvor (dock inte funktionsgrafer) som kan fylla en kvadrat:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Peanos_kurva

Att detta fungerar grundar sig i det ganska underliga faktumet att det i någon mån finns lika många punkter i en rektangel som på en linje.

Qetsiyah Online 4480
Postad: 11 jan 2020
oggih skrev:

Egentligen inte är oändligt frenetisk någonstans i sin definitionsmängd.

Finns någon funktion som är det?

Punkten x=0x=0 där det intressanta oändligt urspråde beteendet tycks uppstå (och finnas kvar, hur mycket man än zoomar in!) är lite av en "skenpunkt". Den är ju faktiskt inte med i definitionsmängden! Därmed tror jag det blir svårt att hitta en funktion som immiterar just det här beteendet överallt, och samtidigt har punkter där den på riktigt är definierad.

Det låter rimligt, så kanske det är (tyvärr för mig, men hurra för min mobil och wolframalpha).

Som Alvin gett exempel på så finns ju däremot kurvor som är "space filling". Nu börjar jag tänka på måtteori.

oggih 756 – F.d. Moderator
Postad: 11 jan 2020 Redigerad: 11 jan 2020

Det finns många olika sätt som en funktion kan vara extremt frenetisk på.

Om vi ger upp släthet så skulle vi kunna titta på Weirstrassfunktionen som "aldrig någonsin vilar", och som har en så pass "taggig" graf att det inte finns en enda punkt där den är deriverbar, trots att den är kontinuerlig överallt.

Om det var teckenförändringar vi ville ha, och är beredda att ge upp kontinuitet, så kan vi dra till med något så monstruöst som

f(x)=1om x-1om x,\,{f(x)}=\left\{\begin{matrix}1&\text{om $x\in\mathbb{Q}$}\\-1&\text{om $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$}\,,\end{matrix}\right.

som gör oändligt många teckenbyten i varje öppet intervall. Det känns också som ett ganska frenetiskt beteende! :D

Qetsiyah Online 4480
Postad: 28 sep 2020 Redigerad: 28 sep 2020

Oändligt frenetiska funktioner är inte alls bara en lek med fantasin! (Verkar det som). Jag läste om Riemann-Lebesgue-lemmat, titta:

Det är frenetiken som gör att integralens värde blir noll; funktionen f:s beteende spelar ingen roll.

oggih 756 – F.d. Moderator
Postad: 29 sep 2020 Redigerad: 29 sep 2020

Wow! Har aldrig tänkt på att det skulle vara en konsekvens av "frenetiskhet", men nu när du säger det makear det ju faktiskt väldigt mycket sense (i alla fall om ff är kontinuerlig).

Hur ser resten av beviset ut? Vad används lemmat till i boken du läser?

Qetsiyah Online 4480
Postad: 29 sep 2020 Redigerad: 29 sep 2020

Kan du inte gissa det? Konvergens, integraler, en sinusfunktion multiplicerad med en godtycklig funktion... Fourieranalys!

Lemmat är jätteviktig i boken.

Visa spoiler


fff

Qetsiyah Online 4480
Postad: Igår Redigerad: Igår

Är konvergensen av fresnelintegralen (noll till oändlighet av sin(x^2)) ett resultat av frenetiskhet? 

Skillnaden mellan den och sin(x) (som ju inte är konvergent, men som man skulle kunna tro är lika med noll) är att perioden blir godtyckligt liten i oändligheten.

Hur snabbt måste perioden minska för att integralen ska vara konvergent? Alltså, hur snabbt ska f i sin(f(x)) öka? Jag vet inte hur jag ska googla det här på engelska.

(Jag vet att funktionen inte ens är periodisk men ni förstår ändå)

Albiki 4735
Postad: Igår Redigerad: Igår

f(x)=n=11n2sin1x-n,f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sin\frac{1}{x-n}, där x(0,).x\in(0,\infty)\setminus\mathbb{N}.

Qetsiyah Online 4480
Postad: Igår Redigerad: Igår

Vad är speciellt med den funktionen?

Jag såg att du redigerade ditt inlägg men varflr? Funktionen är definierad för negativa x (även hela negativa x)

Albiki 4735
Postad: Igår

g(x)=n=11n2sin1x-qn,g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sin\frac{1}{x-q_n},

där x(0,)+x\in(0,\infty)\setminus\mathbb{Q}^+ och (qn)(q_n) är en uppräkning av de positiva rationella talen. 

Svara Avbryt
Close