15 svar
194 visningar
HaCurry 177
Postad: 30 jul 2020

Analysens huvudsats och funktionens deriverbarhet

Hej, jag har en fråga angående analysens huvudsats som jag har bifogat nedan:

Min fråga är varför det räcker med att funktionen f ska vara kontinuerlig för att funktionen S ska vara deriverbar, vi vet ju att deriverbarhet medför kontinuitet men inte omvänt, se figur nedan:

Det verkar vara något jag missar här?

Tack för all hjälp i förhand!

Happyeagle 25
Postad: 30 jul 2020

Det är väl en av sakerna som satsen säger. Då är S(x) deriverbar med derivatan S´(x)=f(x). Enligt definition måste vi visa att gränsvärdet

limh0S(x+h)-S(x)h

existerar. Då är ju S deriverbar. Jag antar att de visar detta i din boks bevis, men om jag minns rätt är huvudsteget medelvärdessatsen för integraler. Vi har väl

 

limh0S(x+h)-S(x)h=limh01hax+hf(t)dt-1haxf(t)dt=limh01hxx+hf(t)dt


Medelvärdessatsen för integraler hjälper oss nu se att gränsvärdet verkligen är lika med f(x) och därmed existerar gränsvärdet. För att se det sistnämnda krävs det att funktionen f är kontinuerlig  på [a,b](en förutsättning för medelvärdessatsen bland annat), men inget mer.

HaCurry 177
Postad: 30 jul 2020
Happyeagle skrev:

Det är väl en av sakerna som satsen säger. Då är S(x) deriverbar med derivatan S´(x)=f(x). Enligt definition måste vi visa att gränsvärdet

limh0S(x+h)-S(x)h

existerar. Då är ju S deriverbar. Jag antar att de visar detta i din boks bevis, men om jag minns rätt är huvudsteget medelvärdessatsen för integraler. Vi har väl

 

limh0S(x+h)-S(x)h=limh01hax+hf(t)dt-1haxf(t)dt=limh01hxx+hf(t)dt


Medelvärdessatsen för integraler hjälper oss nu se att gränsvärdet verkligen är lika med f(x) och därmed existerar gränsvärdet. För att se det sistnämnda krävs det att funktionen f är kontinuerlig  på [a,b](en förutsättning för medelvärdessatsen bland annat), men inget mer.

Alright, jag köper ditt resonemang, men hur behandlar satsen punkter på f(x) som inte är deriverbara, men kontinuerliga?

Satsen säger att f är en derivata. f behöver inte själv kunna deriveras för att vara en derivata till en annan funktion.

Tänk att du delar upp din kantiga kurva i hörnen så du får tre linjestycken. Linjer integreras till andragradskurvor, eller hur? Så S(x) kommer se ut som hoplimmade bitar från tre olika andragradskurvor. Att f är kontinuerlig överallt innebär att lutningen på S-kurvan ändras utan plötsliga hopp - dvs, S kommer inte få den sortens kanter som f har.

Qetsiyah 3843
Postad: 30 jul 2020
Skaft skrev:

Satsen säger att f är en derivata. f behöver inte själv kunna deriveras för att vara en derivata till en annan funktion.

Exakt det jag tänkte säga, det gäller att läsa noga vad påsåendet påstår!

HaCurry 177
Postad: 31 jul 2020
Skaft skrev:

Satsen säger att f är en derivata. f behöver inte själv kunna deriveras för att vara en derivata till en annan funktion.

Tänk att du delar upp din kantiga kurva i hörnen så du får tre linjestycken. Linjer integreras till andragradskurvor, eller hur? Så S(x) kommer se ut som hoplimmade bitar från tre olika andragradskurvor. Att f är kontinuerlig överallt innebär att lutningen på S-kurvan ändras utan plötsliga hopp - dvs, S kommer inte få den sortens kanter som f har.

Okej, jag har en följdfråga på ditt andra stycke, jag ställde upp följande funktion:

Och tar integralen av den, (den bör vara riemann integrerbar om jag inte misstar mig), vi får att integralen blir från 0 till x:     x^2 för [0,1] och 1 + ( x - 1 ) för ]0,oändlighet[, här får jag två olika derivator vid punkten x=1 om jag kommer från höger eller vänster, detta betyder ju att den inte är deriverbar vid x=1 (enligt derivatans definition?). Hur går detta ihop med att satsen säger att funktionen S (som i vårt fall var x^2 för [0,1] och 1 + ( x - 1 ) för ]0,oändlighet[) är deriverbar, när den i x=1 inte är deriverbar?

Skaft 1019 – F.d. Moderator
Postad: 4 dagar sedan

y=2x går inte genom punkten (1, 1), så exemplet haltar lite. Men det låter fortfarande som att du blandar ihop f och S. S är deriverbar, f är det inte (i dina exempel). Hur ser S-kurvan ut, om du skissar den?

parveln 578
Postad: 4 dagar sedan

Som skaft säger går inte y=2x genom punkten (1,1). Däremot gör ju y=x det. Arean blir x^2/2 för x i [0,1]. Arean för x större än 1 blir 1/2+(x-1). (Triangeln med bas 1 och höjd 1 har area en halv). Om vi deriverar uttrycken och sätter in x=1 får vi samma svar(1).

HaCurry 177
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan
Skaft skrev:

y=2x går inte genom punkten (1, 1), så exemplet haltar lite. Men det låter fortfarande som att du blandar ihop f och S. S är deriverbar, f är det inte (i dina exempel). Hur ser S-kurvan ut, om du skissar den?

Nu pratar jag bara om S' i satsen (vilket i mitt exempel är benämnt f(x)) alltså det du pratade om i ditt andra stycke i ditt första svar. Jag skulle fortfarande säga att funktionen S' (som jag benämnde f(x) i figuren) är odefinenierad i x = 1 eftersom höger och vänster derivatorna inte stämmer överens:

f(x+h)-f(x)hf(x-h)-f(x)-h då h0. Om man använder derivations reglerna på min funktion f(x), så som ni verkar ha gjort, så är det förutsatt att höger och vänster derivatorna är lika varann vilket i vårt fall det inte är. 

 

Hur kan satsen säga att S är deriverbar? Det jag hellre skulle vilja säga är att S är styckvis deriverbar?

Laguna 9187
Postad: 4 dagar sedan

S'(1) = 1.

Jroth 798
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan

Är du med på att din graf borde se ut så här?

Högerderivatan och vänsterderivatan  i punkten x=1x=1 antar samma värde, S'(1+)=S'(1-)S^'(1^+)=S^'(1^-).

S är deriverbar. f är kontinuerlig.

Edit: Saknades en konstantterm i uttrycket x2+1x^2+1

Skaft 1019 – F.d. Moderator
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan
HaCurry skrev:Jag skulle fortfarande säga att funktionen S' (som jag benämnde f(x) i figuren) är odefinenierad i x = 1

Nejdå, f(1) är inte odefinierat. f behöver inte vara deriverbar för att ha ett värde i x=1. f(1) kan antingen läsas av i grafen eller räknas ut genom att sätta in x=1 i ekvationen (dessa stämmer dock inte överens men det är ett sidospår).

Om man använder derivations reglerna på min funktion f(x), så som ni verkar ha gjort, så är det förutsatt att höger och vänster derivatorna är lika varann vilket i vårt fall det inte är.

Nej, f(x) ska som sagt inte deriveras. f(x) är en derivata, inte något som deriveras. S(x) är deriverbar, därför att dess derivata f(x) är kontinuerlig. Derivatan behöver inte vara deriverbar. Se (slarvigt ritat) exempel. Röd är derivatan f, blå är integralen S. Först växer den som en andragradskurva, sen går den över till att växa linjärt. Notera att blå kurva är helt kantfri, trots att dess derivata har en kant. Det beror på att f är kontinuerlig.

HaCurry 177
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan

Ber om ursäkt alla, jag har förvirrat mig själv och förvirrat er, verkar som att jag blandar ihop notationen, jag ska läsa igenom era svar och så får jag återkomma med tydligare frågor, (sånt som händer när man gör matte 3 på natten).

Qetsiyah 3843
Postad: 3 dagar sedan

Haha ingen fara, men är detta verkligen matte3?

Skaft 1019 – F.d. Moderator
Postad: 2 dagar sedan

Det skulle nog läsas som "matte kl 3 på natten", inte kurs 3 :)

Qetsiyah 3843
Postad: 2 dagar sedan

Åh... man bör inte skriva på pluggakuten på natten heller hahaha

Svara Avbryt
Close