19 svar

192 visningar

mrlill_ludde är nöjd med hjälpen

Analytisk funktion1

Jag ska nu ta efter det jag efterfrågade i den här tråden. Och använda mig utav:

Om vi börjar med a) uppgiften.

Där jag kommer byta ut $C$ mot cirkeln $\gamma$ som i mitt fall kommer bli radien $\pm 2$ cirkelns mitt kommer ligga i $1+i$ (??) och min $f(z) =$ hela integralen??
$z_0$ är de punkter som ej är definerat i detta fall $\pm i$ och $\pm 2$ .

(jag vill helst , om möjlig, hehe, utan att låta kräsen, ha det mer strukturerat som att $z$ är $z$ och $z_0$ står för de punkter som den ej är analytisk i .. typ. )

Och nu till beräknandet.... jag kollar ju på beviset, och ser att detta blir lika med $2 \pi i * f(z_0)$

Nee, förstår inte ... Försöker tänka på Alkibis svar längst ned, men kan inte knyta ihop det. Eftersom min $f(z_0$ består av två punkter som inte är definerade.. .

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Smaragdalena skrev:
Standardfråga 1a: Har du ritat?

Mja, men vet inte om den är korrekt. Jag inser att cirkelns mitt (medelpunkt?) är $1+i$ och avståndet är 2 från dessa icke-analytiska punkterna? (som då är $\pm2,\pm i$ )

haha asså.. herregud, jag vet inte vad jag ritat. men jag hoppas jag ritat rätt xD det röda ska vara där det inte är analytisk något mer

Hur stor är cirkelns radie? Radien är inte $=2$ längdenheter.

Vilka av de rödmarkerade punkterna ligger inuti cirkeln respektive på randen? Det går inte att uttyda från din bild.

Smaragdalena skrev:
Hur stor är cirkelns radie? Radien är inte $=2$ längdenheter.
Vilka av de rödmarkerade punkterna ligger inuti cirkeln respektive på randen? Det går inte att uttyda från din bild.

Ja ok, då har jag ritat den cirkeln fel. Och behöver hjälp med det då också...

Formeln för en cirkel med centrum i origo och med radien $r$ är $x^2+y^2=r^2$ . Räcker det eller behöver du mer hjälp?

Smaragdalena skrev:
Formeln för en cirkel med centrum i origo och med radien $r$ är $x^2+y^2=r^2$ . Räcker det eller behöver du mer hjälp?

Nu är den jäkligt osymmetrisk ritad (finner det svårt och rita med musplattan på datorn)..

I online-verktyget Desmos ritar man upp de två cirklarna tillsammans med integrandens fyra poler, för att se om polerna ligger inuti eller utanför cirklarna.

Den första cirkeln har en pol ( $z=2$ ) precis på randen och en pol ( $z=i$ ) inuti cirkeln.
Den andra cirkeln har en pol ( $z=2$ ) inuti cirkeln.

Albiki skrev:
I online-verktyget Desmos ritar man upp de två cirklarna tillsammans med integrandens fyra poler, för att se om polerna ligger inuti eller utanför cirklarna.
Den första cirkeln har en pol ( $z=2$ ) precis på randen och en pol ( $z=i$ ) inuti cirkeln.
Den andra cirkeln har en pol ( $z=2$ ) inuti cirkeln.

Jag tänkte såhär

generell formel: $|z-w|=r$
$w$ är cirkelns centrum
och $r$ är radien ev så kommer en konstant $C$ så $| z - w + C | = r \Rightarrow | z - w | = r - C$

Fel av mig?

mrlill_ludde skrev:
Albiki skrev:
I online-verktyget Desmos ritar man upp de två cirklarna tillsammans med integrandens fyra poler, för att se om polerna ligger inuti eller utanför cirklarna.
Den första cirkeln har en pol ( $z=2$ ) precis på randen och en pol ( $z=i$ ) inuti cirkeln.
Den andra cirkeln har en pol ( $z=2$ ) inuti cirkeln.
Jag tänkte såhär
generell formel: $|z-w|=r$
$w$ är cirkelns centrum
och $r$ är radien ev så kommer en konstant $C$ så $| z - w + C | = r \Rightarrow | z - w | = r - C$
Fel av mig?

Ja, det är fel av dig.

Det gäller inte att $|z-w+C| = |z-w|+C$ .

När förekommer sådana där konstanter C, menar du? Cirkelns medelpunkt brukar vara konstant, men den måste förstås inte det.

Laguna skrev:
När förekommer sådana där konstanter C, menar du? Cirkelns medelpunkt brukar vara konstant, men den måste förstås inte det.

och @Alkbi:

Så jag har ritat fel??

mrlill_ludde skrev:
Laguna skrev:
När förekommer sådana där konstanter C, menar du? Cirkelns medelpunkt brukar vara konstant, men den måste förstås inte det.
och @Alkbi:

Så jag har ritat fel??

Om du har klickat på länken i mitt inlägg så kan du själv avgöra om du har ritat fel; det är den understrukna och rödmarkerade texten "de två cirklarna tillsammans med integrandens fyra poler".

Albiki skrev:
mrlill_ludde skrev:
Laguna skrev:
När förekommer sådana där konstanter C, menar du? Cirkelns medelpunkt brukar vara konstant, men den måste förstås inte det.
och @Alkbi:

Så jag har ritat fel??
Om du har klickat på länken i mitt inlägg så kan du själv avgöra om du har ritat fel; det är den understrukna och rödmarkerade texten "de två cirklarna tillsammans med integrandens fyra poler".

Mja men okej.. Ändock.. Även om jag ser på den figuerabn som du ritade i Desmos. Så tänker jag ändå att jag inte fått svar på hur jag ska lösa uppgift iallfall =)))

Buuuump?

Vad är det du undrar om? Din förra kommentar är skriven så att åtminstone jag tolkar det som att du är klar, så det är inte underligt att ingen har svarat.

Rita upp cirkeln och de fyra polerna på ett rutat papper, ta en bild av pappret och lägg in bilden här.

Jag tror man ska göra såhär. Och sen likadant för den andra och plussa ihop dem. Du behöver inte tänka ekvation för cirkeln, sätt bara ut mitten, dra din radie (här två) rätt antal rutor upp ner och åt båda sidor och knyt ihop så det ser lite runt ut. ;)

Det stora problemet med Albikis illustration är att han glömmer att cirkelns ekvation i kartesiska koordinater är:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^{\color{red}2}$

Eftersom cirkeln $|z-1-i|=2$ har radie två blir motsvarande cirkel i kartesiska koordinater:

$(x-1)^2+(y-1)^2=4$

På samma sätt blir $|z-2|=2$

$(x-2)^2+y^2=4$

Således ligger ingen av polerna på kurvan, och då går det att applicera Cauchys Integralformel, Cauchys Integralsats och Residysatsen på vanligt vis.

Det finns fyra sätt att lösa a)-uppgiften:

Lösa uppgiften genom att byta ut $\gamma$ (vilket vi får göra enligt Cauchys Integralsats) mot två cirklar som var och en innesluter enbart en pol och applicera Cauchys Integralformel på var och en av dem som i denna tråd.
Partialbråksuppdela integranden och få flera integraler som bara har en eller ingen diskontinuitet som i denna tråd.
Använda Residysatsen. Eftersom alla poler är enkelpoler är det relativt att beräkna deras residyer.
Parametrisera kurvan med $\gamma(t)=1+i+2e^{it}$ och beräkna integralen på "vanligt vis".

AlvinB skrev:
Det stora problemet med Albikis illustration är att han glömmer att cirkelns ekvation i kartesiska koordinater är:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^{\color{red}2}$
Eftersom cirkeln $|z-1-i|=2$ har radie två blir motsvarande cirkel i kartesiska koordinater:
$(x-1)^2+(y-1)^2=4$
På samma sätt blir $|z-2|=2$
$(x-2)^2+y^2=4$
Således ligger ingen av polerna på kurvan, och då går det att applicera Cauchys Integralformel, Cauchys Integralsats och Residysatsen på vanligt vis.
Det finns fyra sätt att lösa a)-uppgiften:
Lösa uppgiften genom att byta ut $\gamma$ (vilket vi får göra enligt Cauchys Integralsats) mot två cirklar som var och en innesluter enbart en pol och applicera Cauchys Integralformel på var och en av dem som i denna tråd.
Partialbråksuppdela integranden och få flera integraler som bara har en eller ingen diskontinuitet som i denna tråd.
Använda Residysatsen. Eftersom alla poler är enkelpoler är det relativt att beräkna deras residyer.
Parametrisera kurvan med $\gamma(t)=1+i+2e^{it}$ och beräkna integralen på "vanligt vis".

Vilken av dom är det som alltid fungerar?

Alla dessa metoder fungerar på alla liknande problem (slutna kurvintegraler av analytiska funktioner med ett fåtal diskontinuiteter). Det är mer vilken du känner dig mest bekväm med.

Om du gått igenom Residysatsen rekommenderar jag den, annars tycker jag metod två är enklast.

Att parametrisera kurvan medför ofta väldigt krångliga integralberäkningar och är därför något som jag inte rekommenderar när vi arbetar med slutna kurvintegraler.

Svara Avbryt

Visa senaste svar