Ange ett exakt uttryck för arean av en liksidig triangel med sidan a

Svaret $\frac{ah}{2}$, men det vore trevligt att skriva svaret utan något h inblandat. Börja med att rita upp en liksidig triangel med sidan a. Markera sedan höjden i triangeln. Hur kan den beräknas? :)

Smutstvätt skrev:

Ditt svar är inte fel, men det vore trevligt att skriva svaret utan något h inblandat. Börja med att rita upp en liksidig triangel med sidan a. Markera sedan höjden i triangeln. Hur kan den beräknas? :)

jag vet inte, allt jag kommer på är konstigt t.ex tan(45) = h/a

Hur ser din bild ut? Finns det någon rätvinklig triangel i din liksidiga triangel? :)

Smutstvätt skrev:

Hur ser din bild ut? Finns det någon rätvinklig triangel i din liksidiga triangel? :)

ja, två rätvinkliga trianglar med vinklarna 90, 30, 60

Vilka längder har deras sidor?

Smutstvätt skrev:

Vilka längder har deras sidor?

a,  a/2 och höjden (h)

Korrekt. Vilken av sidorna är hypotenusan?

a*h är inte rätt. Hur beräknar man arean av en triangel?

Smaragdalena skrev:

Korrekt. Vilken av sidorna är hypotenusan?

a

Stämmer. Hur ställer du upp Pythagoras sats för den triangeln?

Smaragdalena skrev:

Stämmer. Hur ställer du upp Pythagoras sats för den triangeln?

h²  + (a/2)² = a²

Bingo! Utveckla ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ och förenkla ekvationen. Vad händer? :)

Smutstvätt skrev:

Bingo! Utveckla ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ och förenkla ekvationen. Vad händer? :)

h² + (a²/4) = a²

Jag förstår inte riktigt vad är det som händer. Ska jag förenkla den här ekvationen? Då kommer jag ju ändå ha h som en variabel, eller ska jag lösa ut h och sedan använda det för att räkna arean.

ska jag lösa ut h och sedan använda det för att räkna arean

Precis! Triangelns area kan beräknas som $A=\frac{ah}{2}$. Om du kan hitta ett uttryck för h som endast beror av a, har du sedan en formel som enbart beror på a. Vad får du om du löser ut h ur din ekvation?

Smutstvätt skrev:

ska jag lösa ut h och sedan använda det för att räkna arean

Precis! Triangelns area kan beräknas som $A=\frac{ah}{2}$. Om du kan hitta ett uttryck för h som endast beror av a, har du sedan en formel som enbart beror på a. Vad får du om du löser ut h ur din ekvation?

$$\begin{gathered} h^2 = a^2-\frac{a^2}{4} \\ h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} \\ h = a - \frac{a}{4} \\ A =\frac{ a\times (a-{\displaystyle \frac{a}{4}})}{2} \\ A = \frac{a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}{2} \end{gathered}$$

Nichrome skrev:

Smutstvätt skrev:

Visa föregående citat

ska jag lösa ut h och sedan använda det för att räkna arean

Precis! Triangelns area kan beräknas som $A=\frac{ah}{2}$. Om du kan hitta ett uttryck för h som endast beror av a, har du sedan en formel som enbart beror på a. Vad får du om du löser ut h ur din ekvation?

$$\begin{gathered} h^2 = a^2-\frac{a^2}{4} \\ h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} \\ h = a - \frac{a}{4} \\ A =\frac{ a\times (a-{\displaystyle \frac{a}{4}})}{2} \\ A = \frac{a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}{2} \end{gathered}$$

Du gör fel på tredje raden, man kan inte dra roten ur ett uttryck på det sättet.

Förenkla uttrycket under roten på rad 2 istället, vad får du då?

En liksidig triangel har vinklarna  60  60  60  grader och lika långa sidor.
Den kan delas i två likadana rätvinkliga trianglar med vinklarna  30  60  90  grader.

Förhållandet mellan sidorna i en sådan rätvinklig triangel är alltid  1  2  $\sqrt{3}$ ( lätt att komma ihåg )

Så om du multiplicerar dessa siffror med   a/2   får du sidorna     a/2    a    $\frac{a}{2}\sqrt{3}$