Ange uttryck för arean på liksidig triangel med sidan A

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Knepet är att använda Pythagoras sats för att beräkna triangelns höjd h.

Rita en hyfsat liksidig triangel.

Kalla sidlängderna för a.

Rita en höjd i denna triangel.

Den utgår frän mittpunkten på en av sidorna och går vinkelrätt mot denna sida upp till motståense hörn.

Höjden delar in triangeln i två identiska rätvinkliga trianglar.

Använd Pythaforas sats för att beräkna höjden 

Visa din figur och dina beräkningar.

Tack Yngve!

sedan tar jag roten ur c^2 (hypotenusan). Som jag inte vet vad det blir eftersom det är en variabel... eller är det rätt om man skriver c*c... 

Hittills har jag förstått men när jag ska ta nästa steg så vet jag inte hur..

Snygg figur!

Du är helt klart på rätt väg, men du glömmer att den ursprungliga stora triangeln är liksidig och att alla dess tre sidor har längden a.

Det betyder att c inte alls är en okänd storhet.

Tack!😊

Okej. Om jag skulle skriva om det såhär då: a^2+(a/2)^2=a^2 (hypotenusa)

I mina ögon ser jag att höjden och halva bredden ger mig svaret på min hypotenusa. Men nu var det ju så att de ville ha arean... 

Trinagels area: b*h/2

Då kanske det blir såhär $\sqrt{a^2}+\sqrt{{\frac{a}{2}}^2}=\frac{\frac{a}{2}\times a}{2}=?$?  Eller är jag helt ute och cyklar nu....

Ja nu cyklar du lite.

Din figur ska se ut så här:

Hypotenusans längd är $a$, den korta katetens längd är $\frac{a}{2}$ och den långa katetens längd (dvs triangelns höjd) är $h$.

Pythagoras sats ger dig då $a^2=(\frac{a}{2})^2+h^2$.

Lös ut $h$ och använd sedan det som höjden i triangelns areaformel.

Så:

1.  $a^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+ h^2$ 

2. $a^2-h^2={(\frac{a}{2})}^2$

3. $-h^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2- a^2$

4. $-h^2=\frac{ {\left(\frac{a}{2}\right)}^2}{a^2}- \frac{a^2}{a^2}$

5. $-h^2=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2} ={\frac{a}{2}}^{1/2}$

...

Fram till steg 3 är det rätt, men sedan dividerar du det som står till höger om likhetstecknet med $a^2$ utan att göra samma sak med det som står till vänster om likhetstecknet.

Så får du inte göra, om du ändrar värdet på ena sidan av likhetstecknet så måste du ändra värdet på samma sätt även på andra sidan av likhetstecknet, annars gäller inte likheten.

Men det är betydligt enklare att börja med att subtrahera $(\frac{a}{2})^2$ från båda sidor istället, då slipper du få ett mi ustecken framför $h^2$.

Nästa steg blir att skriva om $(\frac{a}{2})^2$ som $\frac{a^2}{4}$, göra liknämnigt och förenkla.

Det är ju sant, att missa det jag missade får jag inte göra!

Då tar jag din rekommendation och subtraherar istället (a/2)^2  från VL och HL.

3. $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=h^2$ (gud varför tänkte jag inte såhär från början, mycket lättare)

4. $a^2-\left({\frac{a}{4}}^2\right)=\frac{h^2}{4}$ 

• Varför blir nämnaren 4? Är det för att jag har multiplicerat exponenten med nämnaren?
• Varför blir har exponenten flyttat till a?

5. $4=h^{1/4}$, det måste vara fel.. Jag testar göra steg 5 på något annat sätt nedan.

5. $\frac{a^2-a^2}{4}=\frac{h^2}{4}= a^2-a^2=h^2$

6. Jag behöver få bort potenserna eller?

duppy skrev:

...

4. $a^2-\left({\frac{a}{4}}^2\right)=\frac{h^2}{4}$ 

• Varför blir nämnaren 4? Är det för att jag har multiplicerat exponenten med nämnaren?
• Varför blir har exponenten flyttat till a?

Det finns en potenslag (kolla din formelsamling) som lyder $(\frac{x}{y})^b=\frac{x^b}{y^b}$. Om du använder den så får du att $(\frac{a}{2})^2=\frac{a^2}{2^2}=\frac{a^2}{4}$. Den operationen ändrar inte värdet på vänsterledet.

Men varför dividerar du högerledet med 4? Så får du inte göra om du inte gör samma sak i vänsterledet.

Detta eftersom du då ändrar värdet på högerledet utan att ändra värde på vänsterledet. Då gäller inte längre likheten.

Det ska vara $a^2+\frac{a^2}{4}=h^2$

Gör nu vänsterledet liknämnigt genom att förlänga första termen med 4, sätt sedan de båda termerna i vänsterledet på gemensamt bråkstreck och förenkla.

Sista steget blir att dra roten ur bägge sidor.

ok. Hittade en grym video men det finns ett enda steg jag inte förstår och det är steget vid 1:50. Vart kommer 4:an ifrån, han säger att man kan multiplicera 1 med 4? Är det för att ha något annat att räkna med än 1 i nämnaren? Eller är det så man bara gör; att man multiplicerar nämnarna med varandras nämnare och täljare?  Videon 

Nej han förlänger första termen med 4, så att de båda termerna ska få samma nämnare. 

Det bygger på följande:

$a^2$ kan ju skrivas som $1\cdot a^2$

Eftersom $1$ kan skrivas som $\frac{4}{4}$ så kan alltså $a^2$ skrivas som $\frac{4}{4}\cdot a^2$, vilket är lika med $\frac{4a^2}{4}$.

Läs mer om förlängning och förkortning här.