Antalet pokerhänder med färg? (Matematik/Matte 5/Kombinatorik)

Svaret beror på om man räknar royal flush och straight flush som flush eller inte. Om de räknas är svaret

$\displaystyle \binom{4}{1}\binom{13}{5}$

Om de inte räknas måste vi ju räkna bort dessa händer. Det finns $\mathrm{C}(4,1)$ att få royal flush och $\mathrm{C}(4,1)\mathrm{C}(8,1)$ sätt att få straight flush (exl. royal flush). Antalet sätt att få flush är i så fall:

$\displaystyle \binom{4}{1}\binom{13}{5}-\left(\binom{4}{1}+\binom{4}{1}\binom{8}{1}\right)=\binom{4}{1}\left(\binom{13}{5}-9\right)=4\left(\binom{13}{5}-9\right)$

Detta är inte samma som i facit... Om vi har valt färg och exluderar royal flush finns det bara åtta kort som kan vara lägst i stegen och därför finns det också bara 8 sätt att få färgstege på.

Anonym_15 skrev:
Hur många pokerhänder har färg, dvs. 5 kort i samma färg?

Jag tycker det är lite konstigt att förtydliga att "färg" innebär 5 kort i samma färg, men implicit mena att stegar inte räknas. Om jag såg "dvs 5 kort i samma färg" skulle jag anta att stegarna räknas med.

AlexMu skrev:
Anonym_15 skrev:
Hur många pokerhänder har färg, dvs. 5 kort i samma färg?

Jag tycker det är lite konstigt att förtydliga att "färg" innebär 5 kort i samma färg, men implicit mena att stegar inte räknas. Om jag såg "dvs 5 kort i samma färg" skulle jag anta att stegarna räknas med.

Instämmer. Jag tror det är en mindre bra översättning av en engelsk uppgift. Där talar man säkert om "Flush"-händer och betraktar de separerade från "Straight Flush"-händer, då de trumfar över Flush-händerna. Kanske någon korthaj på PA vet mera detaljer…

naytte skrev:
Svaret beror på om man räknar royal flush och straight flush som flush eller inte. Om de räknas är svaret

$\displaystyle \binom{4}{1}\binom{13}{5}$

Om de inte räknas måste vi ju räkna bort dessa händer. Det finns $\mathrm{C}(4,1)$ att få royal flush och $\mathrm{C}(4,1)\mathrm{C}(8,1)$ sätt att få straight flush (exl. royal flush). Antalet sätt att få flush är i så fall:

$\displaystyle \binom{4}{1}\binom{13}{5}-\left(\binom{4}{1}+\binom{4}{1}\binom{8}{1}\right)=\binom{4}{1}\left(\binom{13}{5}-9\right)=4\left(\binom{13}{5}-9\right)$

Detta är inte samma som i facit... Om vi har valt färg och exluderar royal flush finns det bara åtta kort som kan vara lägst i stegen och därför finns det också bara 8 sätt att få färgstege på.

Hur kommer du fram till detta? Hur kan du Vera att det är C(4,1). Hur ska man tänka kring allt? Är väldigt förvirrad. Hade blivit klarare med en grundlig förklaring.

Hur kan du Vera att det är C(4,1)

Om du har valt färgen är din royal flush entydigt bestämd eftersom det för en given färg endast finns en royal flush. Därför finns det fyra sätt att få royal flush på, eller med andra ord $\mathrm{C}(4,1)$ sätt. På samma sätt finns det åtta möjliga stegar exlusive royal flush per färg, alltså finns det $\mathrm{C}(4,1)\mathrm{C}(8,1)$ sätt att få färgstege på.

Men klarmarkera inte frågan alltför fort. Jag fick ju inte samma svar som facit så någon av oss har fel.

Facit inkluderar inte färgstegarna. Dessa är 40 st. enligt föregående deluppgift.

naytte skrev:
Men klarmarkera inte frågan alltför fort. Jag fick ju inte samma svar som facit så någon av oss har fel.

Räknar du med ess, 2, 3, 4, 5? Jag antar att det räknas som stege.

Ja, precis.

AlexMu skrev:
naytte skrev:
Men klarmarkera inte frågan alltför fort. Jag fick ju inte samma svar som facit så någon av oss har fel.

Räknar du med ess, 2, 3, 4, 5? Jag antar att det räknas som stege.

Jag trodde att ess hade högst värde. Är det som i Blackjack att man kan "välja" vilket värde det har utifrån vad som är bäst?

naytte skrev:
AlexMu skrev:
naytte skrev:
Men klarmarkera inte frågan alltför fort. Jag fick ju inte samma svar som facit så någon av oss har fel.

Räknar du med ess, 2, 3, 4, 5? Jag antar att det räknas som stege.

Jag trodde att ess hade högst värde. Är det som i Blackjack att man kan "välja" vilket värde det har utifrån vad som är bäst?

Jag har ingen aning, jag spelar inte poker. Jag tänker bara att många kortspel brukar låta ess spela båda roller. Det skulle i alla fall förklara vart skillnaden i ditt svar och facits kommer ifrån.

Ja, om ess 2 3 4 5 räknas som en färgstege är det där skillnaden ligger.

Hej! Får jag ställa en sista fråga som jag kom att tänka på nu när jag löste en fråga gällande yatzy?

Varför måste man ta hänsyn till ordningen i yatzy, men inte i poker?

Exempel: Tretal i Yatzy

Tretal = a,a,a,b,c

Välj valör för trissen: 6
Välj valörer för de två andra korten: C(5,2)
Antalet ordningar av a,a,a,b,c: 5! / 3! = 20

Totalt:

6 * C(5,2) * 20 = 1200 (alla ordningar räknas)

Tretal i Poker (oordnat):

Tretal = AAAxy

Välj valören för trissen: C(13,1)
Välj vilka 3 av 4 kort: C(4,3)
Välj valörer för sidokorten: C(12,2)
Välj exakta kort i dessa valörer: 4 * 4

Totalt:

C(13,1) * C(4,3) * C(12,2) * 4 * 4

(olika ordningar räknas som samma hand)

Varför behandlas sidotärningarna i yatzy annorlunda än sidokorten i poker när man räknar ex. tretal?

Eller tänker jag helt fel?

Anonym_15 skrev:
Hej! Får jag ställa en sista fråga som jag kom att tänka på nu när jag löste en fråga gällande yatzy?

Varför måste man ta hänsyn till ordningen i yatzy, men inte i poker?

Exempel: Tretal i Yatzy

Tretal = a,a,a,b,c

Välj valör för trissen: 6

Välj valörer för de två andra korten: C(5,2)

Antalet ordningar av a,a,a,b,c: 5! / 3! = 20

Totalt:

6 * C(5,2) * 20 = 1200 (alla ordningar räknas)

Tretal i Poker (oordnat):

Tretal = AAAxy

Välj valören för trissen: C(13,1)

Välj vilka 3 av 4 kort: C(4,3)

Välj valörer för sidokorten: C(12,2)

Välj exakta kort i dessa valörer: 4 * 4

Totalt:

C(13,1) * C(4,3) * C(12,2) * 4 * 4

(olika ordningar räknas som samma hand)

Varför behandlas sidotärningarna i yatzy annorlunda än sidokorten i poker när man räknar ex. tretal?

Det är en annan situation.

I fallet yatzy kan du få triss med olika tärningar. Om du tänker dig att tärningarna har olika färger så kan du få triss med röd, grön och vit tärning, men du kan också få det med röd grön och svart tärning etc, totalt 10 fall. Alla dessa 10 möjliga kombinationer av tärningar är olika utfall.

Ett enklare fall, du har två tärningar, på hur många sätt kan du få en och endast en sexa vid ett kast?

Tärningen med en sexa kan väljas på 2 sätt, den andra tärningen kan ha 5 olika utfall, alltså 2*5= 10 sätt. Vi kollar i en tabell

	1	2	3	4	5	6
1						*
2						*
3						*
4						*
5						*
6	*	*	*	*	*

"I fallet yatzy kan du få triss med olika tärningar". Men på samma sätt kan du ju få par med olika kort? Jag förstår ungefär men problemet ligger i att jag har svårt att avgöra (framförallt i poker, yatzy eller liknande) när man ska ta hänsyn till ordningen eller inte.

De räknas inte alls som olika händer i fallet med poker. När du räknar C(12,2) snarare än C(12,1)C(11,1) får du ingen inbördes ordning. Hade du räknat som det senare hade du behövt dela med 2!.

Jag brukar tänka att inbördes ordning uppstår då man gör flera, identiska val ur samma mängd. ”Mängden” i fallet ovan är mängden av alla valörer. Jag vet inte om detta tankesätt är allmängiltigt eller hur man eventuellt skulle kunna formalisera principen till en sats.

Anonym_15 skrev:
"I fallet yatzy kan du få triss med olika tärningar". Men på samma sätt kan du ju få par med olika kort? Jag förstår ungefär men problemet ligger i att jag har svårt att avgöra (framförallt i poker, yatzy eller liknande) när man ska ta hänsyn till ordningen eller inte.

I fallet med spelkorten så tar dina beräkningar inte hänsyn till kortens inbördes ordning. Man kan se det som att du räknar antalet olika delmängder av storlek 5 som uppfyller något villkor, ur en mängd av 52 st kort.

Notera att alla val du gör i dina beräkningar endast handlar om vilka kort som ska ingå i din delmängd och vilka som inte ska ingå.

Hade du velat beräkna sannolikheten för att få en triss så skulle du därför dela med $C(52, 5)$ , vilket är det totala antalet olika delmängder av storlek 5 ur en mängd av storlek 52. Vi har att

$C(13,1)\cdot C(4,3)\cdot C(12,2)\cdot 4\cdot 4 = 54912$

och $C(52,5) = 2598960$ , så sannolikheten att få en triss är

$\frac{54912}{2598960}\approx 2,1%$ .

Det går även att ta hänsyn till kortens ordning. Vi kan tänka att vi drar fem kort ett efter ett, eller att någon delar dem till oss, och vi vill att ordningarna vi får korten i ska räknas som distinkta fall. En uträkning skulle kunna vara följande:

Vi kan välja valör till trissen på $C(13,1)=13$ sätt.

Vi kan välja vilka av de fem korten som trissen ska komma i på $C(5,3)$ sätt. Exempelvis skulle vi kunna

få trissen på det första kortet, det andra kortet och det fjärde kortet.

Vi kan välja färg på de tre trisskorten på $P(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!}=4!$ sätt. Exempelvis skulle det första trisskortet kunna vara spader, det andra ruter och det tredje hjärter, eller så skulle det första kunna vara hjärter, det andra spader och det tredje ruter. Vi räknar dessa två fall som distinkta eftersom vi inte får korten i samma ordning, även om vår slutgiltiga hand innehåller samma triss.

De två kvarvarande kortens valörer kan väljas på $12\cdot 11$ sätt. Notera att vi tar hänsyn till ordningen även här, eftersom dessa två kort kan permuteras på $2!$ olika sätt (som vi hade behövt dela med om vi bortsåg från ordning).

Slutligen kan vi välja färg till de två kvarvarande korten på $4\cdot 4$ sätt.

Totalt får vi då

$13\cdot C(5,3)\cdot 4!\cdot 12\cdot 11\cdot 4\cdot 4 =6589440$

sätt att dra fem kort, i ordning, och få en triss.

Om vi vill räkna ut sannolikheten för en triss i det här situationen, så måste vi dela med antalet sätt att välja fem kort i ordning ur en mängd på 52: $P(52,5)=\frac{52!}{(52-5)!} = 311875200$ .

Sannolikheten att få en triss blir

$\frac{6589440}{311875200}\approx 2,1%$ .

Vi konstaterar att sannolikheten blir densamma, oavsett metod.

Det går alltså hur bra som helst att ta hänsyn till ordningen. Men däremot är det i poker, så väl som i princip alla andra kortspel jag känner till, inte intressant vilken ordning man får korten i. Det enda som spelar roll i poker är vilka korten är. Därför är det ofta rimligast att bortse från ordningen. Vi måste också bortse från ordningen om vi vill räkna antalet sätt att få en viss pokerhand snarare än om vi bara vill bestämma sannolikheten att få en viss pokerhand eller liknande.

Så: För pokerhänder spelar ordningen av korten inte någon roll. Vill vi räkna antalet sätt att få en viss pokerhand måste vi bortse från ordningen. I allmänhet går det dock utmärkt att ta hänsyn till ordningen korten delas ut i eller dras, och för sannolikheter spelar det ingen roll så länge man räknar rätt.

Kan vi bortse från ordningen när vi kastar tärning? Svaret är ja, tekniskt sett går det på samma sätt som för spelkorten, men det finns en skillnad som gör beräkningarna mycket svårare (mig veterligen). Det är nämligen så att om vi väljer att bortse från ordningen så kommer vissa händelser ha större sannolikhet och andra mindre. Vi får med andra ord en sannolikhetsfördelning som inte är likformig.

Ta ett enkelt exempel: vi kastar två mynt. Om vi inte tar hänsyn till ordningen (vi ser mynten som icke-distinkta) finns det tre händelser: $\{\text{Krona},\text{Krona}\},\{\text{Krona},\text{Klave}\},\{\text{Klave},\text{Klave}\}$ . Den mittersta händelsen har dock dubbelt så stor sannolikhet som de två andra. Vi kan då inte längre räkna på sannolikheter som antalet gynsamma utfall delat på antalet totala utfall. I sådana fall skulle vi ju dra slutsatsen att dessa händelser ovan var och en har sannolikheten $\frac{1}{3}$ , vilket vi experimentellt kan visa inte stämmer.

Det blir enklare beräkningar om vi istället tar hänsyn till ordningen (vilket är matematiskt ekvivalent med att vi betraktar tärningarna som distinkta). Då kommer varje händelse nämligen få samma sannolikhet. I exemplet med mynten skulle händelserna $(Krona,Klave)$ och $(Klave,Krona)$ vara distinkta händelser med samma sannolikhet som de övriga utfallen, $\frac{1}{4}$ . Detta gäller för mynt såväl som tärningar. Faktum är ju att de två mynten, eller de fem tärningarna, faktiskt är fysiskt distinkta objekt. Även om vi med blotta ögat inte kan avgöra i stunden vilken tärning som är vilken, så kan vi som Ture påpekar tänka oss att de har olika färg.

Det är alltså inte så att ordningen vi kastar tärningarna spelar roll för det vi ska räkna ut: En triss är en triss oavsett om vi får den med de första tre eller de sista tre kasten. Det gäller även spelkorten. Vi ska därför inte räkna dessa som distinkta i våra beräkningar. Men det blir mycket lättare att räkna det som att tärningarna är distinkta (då får varje utfall samma sannolikhet) och sedan dividera bort de fall där vi har en och samma triss.

Wow. Tack för en mycket grundlig förklaring. Alltså behöver man egentligen inte ta hänsyn till varken ordning i poker eller yatzy men det blir enklare att göra det i yatzy eftersom det annars blir knepigt då sannolikheterna inte längre blir lika stora. Hur ska man kunna veta detta om man inte har fått en sådan förklaring? Förutsätter boken verkligen att man ska kunna det?

Och dessutom: är det så att tärningarna på något sätt är numrerade eller har olika färger i yatzy? Annars använder man ju inte permutationer? Se här, okej använder permutationer för yatzy:

men för poker:

Anonym_15 skrev:
Och dessutom: är det så att tärningarna på något sätt är numrerade eller har olika färger i yatzy? Annars använder man ju inte permutationer? Se här, okej använder permutationer för yatzy:men för poker:

Det spelar ingen roll om tärningarna är numrerade eller har olika färger. Huruvida vi med blotta ögat kan följa var och en av tärningarna och skilja på dem eller inte förändrar inte hur de kommer att bete sig. De är fysiskt distinkta objekt som upptar separata positioner i rummet.

Rent fysiskt kan resultatet av att kasta de fem tärningarna (ett utfall) sägas ha en inneboende ordning där tärning A visar 1, tärning B visar 3, tärning C visar 3, och så vidare. Detta är sant även om vi inte har namngett tärningarna, och även om vi inte håller koll på vilken tärning som är vilken.

Om vi vill se resultatet av ett kast (ett utfall) med fem tärningar som en oordnad mängd värden (typ: två ettor, en trea, två femmor) så måste vi "glömma bort" vilken tärning som visar vad. Det kan vi absolut göra. Men som jag tidigare påpekat så kommer vissa utfall då bli mer sannolika än andra, och vi kommer göra det svårt för oss.

Det förefaller alltså mest naturligt att tänka på kasten som ordnade listor snarare än oordnade mängder.

Det är självfallet också så att spelkorten är distinkta objekt. Varje spelkort är unikt, och det gäller även om vi vänder på dem så att vi inte längre kan skilja dem åt. Om vi drar fem kort och vill ta hänsyn till ordningen vi drar dem i, då skulle våra utfall även här bestå av ordnade listor av längd fem.

Det som skiljer situationerna åt är vad vi väljer att betrakta som utfall och som utfallsrum.

Låt oss ta en närmare titt på vad utfallsrummet är i var och en av situationerna. Kom ihåg att ett utfall är den "minsta beståndsdelen" (resultatet av ett enskilt kast eller vad det nu är), och händelser består av ett eller flera utfall tillsammans. Utfallsrummet är mängden av alla utfall, och händelser är delmängder av utfallsrummet.

Spelkort (poker):

I den här uppgiften har vi bestämt att utfallsrummet består av oordnade mängder av 5 kort (delmängder av storlek 5). Handen bestående av klöver dam, hjärter fem, spader ess, ruter sju och klöver sju är ett exempel på ett utfall. Utfallet har ingen information om någon ordning vi fått korten i eller dylikt. Våra elementära beståndsdelar (utfall) består alltså av delmängder av storlek 5. Vi kan definiera händelsen att få ett par, som består av ett visst antal utfall, och räkna antalet utfall som ingår i den händelsen. Eftersom utfallen i grunden inte har någon ordning så behöver vi bara kombinationer för att räkna dem.

Tärningar (Yatzy):

Utfallsrummet består av ordnade listor av längd 5, där varje position kan ha talen 1-6. Ett exempel på utfall skulle kunna vara A: 1, B: 3, C: 3, D: 5, E: 5. Vi kan då definiera händelsen att få ett tvåpar och räkna antalet utfall som ingår i den händelsen.

Notera skillnaden: I fallet poker är våra utfall oordnade. I fallet tärningar är våra utfall ordnade. Händelsen att få tvåpar i Yatzy är måhända oberoende av vilka tärningar som visar vad, men våra minsta beståndsdelar (utfallen) är i grunden ordnade listor. När vi räknar antalet gynsamma utfall måste vi därför utgå från ordnade listor, oavsett om händelsen vi är intresserade av påverkas av ordning eller ej. När vi räknar antalet ordnade listor kan vi därför ibland behöva använda oss av permutationer istället för kombinationer.