Använda minsta kvadratmetoden?? (Matematik/Matte 2/Statistik)

Det stämmer att summan av alla kvadratet från början bara är ett allmännt uttryck så det är nödvändigt att substituera in våra punkter för att vi ska kunna göra faktiska beräkningar.

Så om vi kallas summan av alla kvadrater för S så är "uttrycket alltså"

$S = (y_1 - f(x_1))^2 + (y_2 - f(x_2))^2 + (y_3 - f(x_3))^2$

men efter att vi substituerat in vårt funktionsuttryck och våra koordinater får vi.

$S(a) = (2 - a\cdot 1)^2 + (3 - a\cdot 2)^2 + (5 - a \cdot 4)^2$

Där värdet på denna summa alltså endast beror av värdet på $a$ . Vårt mål är att välja talet a så att detta uttryck blir så litet som möjligt. Detta kallas ett minimeringsproblem och du lär ha stött på ett fåtal sådana problem tidigare i kursen så försök komma ihåg något tidigare minimeringsproblem och vad du gjorde då.

Separat fråga: Vilket verktyg/sida är det du tagit skärmdumpen från?

SeriousCephalopod skrev:
Det stämmer att summan av alla kvadratet från början bara är ett allmännt uttryck så det är nödvändigt att substituera in våra punkter för att vi ska kunna göra faktiska beräkningar.
Så om vi kallas summan av alla kvadrater för S så är "uttrycket alltså"
$S = (y_1 - f(x_1))^2 + (y_2 - f(x_2))^2 + (y_3 - f(x_3))^2$
men efter att vi substituerat in vårt funktionsuttryck och våra koordinater får vi.
$S(a) = (2 - a\cdot 1)^2 + (3 - a\cdot 2)^2 + (5 - a \cdot 4)^2$
Där värdet på denna summa alltså endast beror av värdet på $a$ . Vårt mål är att välja talet a så att detta uttryck blir så litet som möjligt. Detta kallas ett minimeringsproblem och du lär ha stött på ett fåtal sådana problem tidigare i kursen så försök komma ihåg något tidigare minimeringsproblem och vad du gjorde då.
Separat fråga: Vilket verktyg/sida är det du tagit skärmdumpen från?

tror jag förstår vad som menas nu. Jag ska kvadrera avstånden som du gjorde och summera för att sedan testa olika värden på a? får det är som minst när a=1?

-

Mathleaks.se

Det låter som en plan. För att testa mer systematiskt kan du gärna använda en räknare eller något annat digitalt verktyg.

Problemet kan även lösas analytiskt ("för hand") om du observerar att S(a) är ett andragradspolynom och att du kan använda tekniker för att hitta minimum hos ett andragradspolynom för att lösa problemet. (Lite därför man just använder "kvadrater" för att andragradspolynom är enkla att arbeta med)

Om du förenklar SeriousCephaloids uttryck S(a) så får du fram ett andragradsuttryck. Du vill ju att summan skall bli så liten som möjligt, och eftersom det är en summa av positiva tal kan den inte bli mindre än 0 (om den vore 0 vore det ju perfekt - det skulle betyda att linjen går genom alla punkterna). Lös ekvationen S(a) = 0. Fråga gärna mera! I Ma3 lär man sig en metod för att ta reda på minimivärden, som jag tror att SC tänkte på.

Minimering och maximering av andragradspolynom undervisas ibland i Ma2 iochmed att centrala innehållet omfattar geometriska egenskaper hos parabler och existensen av maximum eller minimum är en geometrisk egenskap samt att det faller in i att kunna relatera geometriska och algebraiska begrepp, samt att man får mycket gratis om man behandlar kvadratkompletterad form.. Men jag är medveten om att många matematiklärare tolkat ur den aspekten ur innehållet, men i vissa läromedel är det med exemepelvis i Matematik 5000-serien så vitt jag minns.

Ja, man lär sig att en andragradsfunktion har sitt maximum eller minimum på symmetrilinjen (och sedan brukar man glömma bort det, när man lär sig derivata). Det var kanske jaga som tolkade det som du skrev på fel sätt.

Vi har gått igenom derivatan flr några månader sedan. vet inte vad jag ska slå på grafräknare. Vad menas med att jag ska observer att S(a) är ett andragradspolynom ? Varför går problemet att lösas genom at thitta minimum hos ett andragradspolynom? Det går alltså få fram genom att sätta derivatan av funktionen lika med 0?

Jag vet att det var många begrepp här. Börja med att utveckla parenteserna i uttrycket för S(a) och förenkla det så tror jag att det blir enklare att hänga med på vad jag och Smaragdalena diskuterade.

SeriousCephalopod skrev:
Jag vet att det var många begrepp här. Börja med att utveckla parenteserna i uttrycket för S(a) och förenkla det så tror jag att det blir enklare att hänga med på vad jag och Smaragdalena diskuterade.

42-30a+21a^2?

Verkar vara några slarvfel då borde blivit

$S(a) = 21a^2 - 56a + 38$ , men typ så ja

Källa: wolfram

Även om du tar fram minimivärdet med hjälp av derivatan, så behöver du ha fram rätt andragradsuttryck först (som SC så snällt bjöd på).

Smaragdalena skrev:
Även om du tar fram minimivärdet med hjälp av derivatan, så behöver du ha fram rätt andragradsuttryck först 8som SC så snällt bjöd på).

okej. Kan jag nu derivera S(a) nu, beräkna med pq-formen och sedan derivera S(a) en gång till och sätta in x1 och x2 för att senn se vad minimivärdet är?

Verkar bli fel. Gjorde S`(a)=42a-56 och ska jag sedan räkna ut a? känns som det blir fel.

Din derivata är korrekt. Du skall alltså lösa ekvationen 42a-56 = 0 för att få fram vilket x-värde som ger funktionens minsta värde.

Smaragdalena skrev:
Din derivata är korrekt. Du skall alltså lösa ekvationen 42a-56 = 0 för att få fram vilket x-värde som ger funktionens minsta värde.

a=4/3?

Det värdet fick jag också, det kommer jag ihåg fast det var för några dagar sedan. Rita gärna upp både det tre punkterna (som ligger på en rät linje som INTE går genom origo) och den här linjen, så att du kan jämföra.

Smaragdalena skrev:
Det värdet fick jag också, det kommer jag ihåg fast det var för några dagar sedan. Rita gärna upp både det tre punkterna (som ligger på en rät linje som INTE går genom origo) och den här linjen, så att du kan jämföra.

Ritade in de tre punkterna och en rät linje mellan dem men hur ritar jag in S(a)?

$y= \frac{4}{3}x$ . Du vet ju att linjen skall vara en proportionalitet, alltså gå genom origo, d v s y = kx+0.

Egentligen behöver du inte rita för att lösa uppgiften - svaret är att a = 4/3 ger den linje som ger minst standardavvikelse.

Smaragdalena skrev:
$y= \frac{4}{3}x$ . Du vet ju att linjen skall vara en proportionalitet, alltså gå genom origo, d v s y = kx+0.
Egentligen behöver du inte rita för att lösa uppgiften - svaret är att a = 4/3 ger den linje som ger minst standardavvikelse.

okej men den går väll inte rita in eftersom vi inte vet x eller y? kan jag rita in den utan att göra en teckentabell alltså sätta in om x är 1 blir y summan av det osv?

Du kan rita in den räta linjen y = (4/3)x utan att veta vad x eller y är, det är ett av de viktigaste momenten i Ma2.

Smaragdalena skrev:
Du kan rita in den räta linjen y = (4/3)x utan att veta vad x eller y är, det är ett av de viktigaste momenten i Ma2.

ok, men jag behöver väll sätta in värden på x då?

Du vet ju redan att linjen skall gå genom origo och ha lutningen 4/3, så du behöver inte några fler x-värden för att kunna rita linjen.

Smaragdalena skrev:
Du vet ju redan att linjen skall gå genom origo och ha lutningen 4/3, så du behöver inte några fler x-värden för att kunna rita linjen.

hur ritar jag lutningen 4/3? tror jag inte lärt mig det..

Det borde du ha gjort, det ingår i Ma2. (Statistiken , som du håller på med nu, brukar vara sista kapitlet). Du kan säkert läsa om det i din mattebok, eller så kan du läsa om det här.

Smaragdalena skrev:
Det borde du ha gjort, det ingår i Ma2. (Statistiken , som du håller på med nu, brukar vara sista kapitlet). Du kan säkert läsa om det i din mattebok, eller så kan du läsa om det här.

nepp kännde inte igen, men nu vet jag! tack!