26 svar
281 visningar
naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 8 feb 14:15 Redigerad: 8 feb 14:16

Är denna notation korrekt? Matematisk logik och mängdlära

God middag!

Jag vill skapa en definition (och uttrycka den matematiskt) för en mängd som innehåller alla infinitesimaler. Ett förslag jag har med mina väldigt begränsade kunskaper är:

𝔼:={ε:n(ε<1n)}\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon:\forall n\in\mathbb{N}(\varepsilon<\frac{1}{n}) \}

Men detta känns ganska klumpigt. Med ord är det jag vill uttrycka: "Mängden E definieras som mängden av alla tal ε\varepsilon sådana att ε<1n\varepsilon< \frac{1}{n} för alla naturliga n"

Har ni några bra förslag på hur man skulle kunna uttrycka det eller är mitt förslag okej?

Trinity2 1268
Postad: 8 feb 14:29 Redigerad: 8 feb 14:32
naytte skrev:

God middag!

Jag vill skapa en definition (och uttrycka den matematiskt) för en mängd som innehåller alla infinitesimaler. Ett förslag jag har med mina väldigt begränsade kunskaper är:

𝔼:={ε:n(ε<1n)}\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon:\forall n\in\mathbb{N}(\varepsilon<\frac{1}{n}) \}

Men detta känns ganska klumpigt. Med ord är det jag vill uttrycka: "Mängden E definieras som mängden av alla tal ε\varepsilon sådana att ε<1n\varepsilon< \frac{1}{n} för alla naturliga n"

Har ni några bra förslag på hur man skulle kunna uttrycka det eller är mitt förslag okej?

Naturliga tal är vagt, då N kan innehålla 0 (men om du definierar det som talen 1, 2, 3... är det helt ok).

𝔼:={ε:ε<1/n, n\in \mathbb{Z}_+\}

är kanske lite enklare och tydligare.

(Fråga mig inte hur PA's LaTeX funkar.... men det kanske framgår ändå)

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 8 feb 14:39 Redigerad: 8 feb 14:59

Oj, jag hade för mig att de naturliga talen inte inkluderade noll, men när man talar om mängder gör man tydligen det.

Så att jag förstår dig rätt, du föreslår alltså:

𝔼:={ε:ε<1n,n Z+}\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon: \varepsilon<\frac{1}{n}, n\in{\ \mathbb{Z^+}} \}

Men det jag tycker verkar lite märkligt är att vi inte explicit uttrycker att vi menar alla positiva heltal. Så om n=3000 skulle alla tal mindre än 1/3000 ingå. Men det kanske är underförstått att man menar "för alla tal i Z+"?


Man skriver LaTeX med hjälp av två dollartecken istället för ett. Skumt, jag vet.

Från svenska Wikipedia:

De naturliga talen är de heltal som är icke-negativa {0, 1, 2, 3, 4, …}, alternativt de heltal som är positiva {1, 2, 3, 4, …}. Den första definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (ett vanligt N i fetstil kan även användas). ℕ är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).

Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den tomma mängden.

En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en monoid under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med primtalsfaktorisering, då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den tomma produkten).

För att undvika förvirring kan ℤ+ användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ0 för de icke-negativa.

Trinity2 1268
Postad: 8 feb 15:35
naytte skrev:

Oj, jag hade för mig att de naturliga talen inte inkluderade noll, men när man talar om mängder gör man tydligen det.

Så att jag förstår dig rätt, du föreslår alltså:

𝔼:={ε:ε<1n,n Z+}\displaystyle \mathbb{E}:=\{ \varepsilon: \varepsilon<\frac{1}{n}, n\in{\ \mathbb{Z^+}} \}

Men det jag tycker verkar lite märkligt är att vi inte explicit uttrycker att vi menar alla positiva heltal. Så om n=3000 skulle alla tal mindre än 1/3000 ingå. Men det kanske är underförstått att man menar "för alla tal i Z+"?


Man skriver LaTeX med hjälp av två dollartecken istället för ett. Skumt, jag vet.

När n+n\in\mathbb{Z}^+ ingår alla icke-negativa tal, obegränsat uppåt men jag funderar på din mängd. Om så är fallet så blir det att ϵ0\epsilon\to0nn är obegränsat. Kanske du skall sätta ett index nn𝔼\mathbb{E} och skriva

En:={ϵ:ϵ<1/n},n+\mathbb{E}_n := \{\epsilon:\epsilon<1/n\}, n\in\mathbb{Z}^+

Då får vi mera förståelig mängd. Annars blir det "nästan" nollmängden med en del filosofiskt pladder om vad ϵ\epsilon kan tänkas vara.

Mängderna En\mathbb{E}_n är avtangande och delmängder i varandra.

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 8 feb 16:49 Redigerad: 8 feb 17:19

Annars blir det "nästan" nollmängden med en del filosofiskt pladder om vad ϵ\epsilon kan tänkas vara.

Ja, det är det som är hela poängen! Jag vill skapa en mängd innehållande endast (positiva till en början) infinitesimaler. Kännetecknet  i min föreställning om infinitesimaler är att varje positivt reellt tal som existerar är större än alla infinitesimaler. 

Ett krav på mängden elementen i mängden borde naturligtivs vara att ε>0\varepsilon>0, men jag glömde skriva med det. Så annorlunda uttryckt kan vi säga att en infinitesimal uppfyller:

nN+(ε<1n)\displaystyle \forall n\in\mathbb{N^+}(\varepsilon<\frac{1}{n})

Det var det jag ville fånga i min definition för mängden av alla infinitesimaler. Jag tänker att om man vill införa sådana tal måste de utgöra en egen mängd (t.o.m. en egen kropp), för de kan knappast vara en delmängd till de reella talen.

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 8 feb 23:21 Redigerad: 8 feb 23:22

Spännande tanke!

Dock: utan att specificera vad för slag objekt dina epsilon ska vara vara (är de reella tal, eller något mer komplicerat?), så är det svårt att tolka 𝔼. 

Kanske ska vi instället börja med att först definiera vad vi menar med infinitesimaler. Kan du ge två exempel?

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 8 feb 23:44 Redigerad: 8 feb 23:50

Löst uttryckt är en infinitesimal ett tal som är mindre än alla positiva reella tal som finns men större än noll. Dessa tal beter sig precis som reella tal, de utgör exempelvis en egen (se nedan) ordnad kropp med identitetselementen 0 och 1. Dessa infinitesimaler följer (i min föreställning åtminstone) samma axiom för algebra som vanliga reella tal gör, så alla påståenden på formen x...\displaystyle \forall x... som gäller för reella xx gäller för infinitesimala xx också.

Det var därifrån mitt logiska påstende i mängden ovan kom ifrån, ett objekt är infinitesimalt om det för varje naturligt (nollskilt) nn är strikt mindre än 1/n1/n men större än 00.

Ett infinitesimalt objekt vill jag beteckna med ε\varepsilon. Precis som de vanliga reella talen kommer infinitesimalerna i olika storleker, så 3ε>2ε>ε3\varepsilon>2\varepsilon>\varepsilon osv... Nu börjar jag med positiva infinitesimaler, men egentligen finns det i mitt huvud även negativa sådana.


Man kan fråga sig om dessa tal är reella, men man kan ganska enkelt lirka fram att de inte kan vara reella.

Antag att 𝔼\displaystyle \mathbb{E}\subset\mathbb{R}. Då \mathbb{R} är en ordnad kropp och 𝔼\mathbb{E} uppenbarligen är begränsad uppåt kommer det finnas ett supremum för 𝔼\mathbb{E}. Låt sup𝔼=ϕ\displaystyle \sup\mathbb{E}=\phi

Om ϕ\phi är reellt kommer ϕ1/n,n\phi \ge 1/n, n\in\mathbb{N}. Men som vi vet är alla infinitesimaler strikt mindre än 1/n1/n. Så ett reellt tal kan inte utgöra ett supremum för 𝔼\mathbb{E}

Det andra alternativet är att den minsta övre gränsen är infinitesimal. Men om ϕ\phi är infinitesimalt kommer även varje multipel av ϕ\phi vara infinitesimal, och då kan ϕ\phi inte utgöra ett supremum eftersom det inte kan utgöra ett maximum i 𝔼\mathbb{E}.

Slutsats: 𝔼\mathbb{E}\not\subset\mathbb{R}


Med mina infinitesimaler skulle man exempelvis kunna lösa annars ganska kluriga gränsvärden, t.ex:

ddxsinx=sin(x+ε)-sinεε=sinxcosε+cosxsinε-sinxεsinx·1+cosx·ε-sinxε=cosx\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\frac{\sin{(x+\varepsilon)-\sin\varepsilon}}{\varepsilon}=\frac{\sin x\cos\varepsilon+\cos x\sin\varepsilon-\sin x}{\varepsilon}\approx \frac{\sin x\cdot1+\cos x\cdot\varepsilon-\sin x}{\varepsilon}=\cos x

Här gjorde jag två approximeringar, nämligen sinεε\displaystyle \sin \varepsilon\approx \varepsilon och cosε1\displaystyle \cos \varepsilon\approx 1. Dessa dyker t.ex. när man taylorutvecklar funktionerna runt x=0x=0. Jag tror dessutom man kan visa att det inte går att få något bättre än en approximering.

Jag valde dessutom bara tilläget av en infintesimal ε\varepsilon, men egentligen hade man lika gärna kunna stoppat in vilken infinitesimal som helst och resultatet hade varit detsamma. Någon mer tillämpning än gränsvärden har jag faktiskt inte tänkt på ännu.

Hoppas det blev lite tydligare nu!


Tillägg: 9 feb 2024 11:14

(Det är naturligtvis så att man hade kunnat köra samma resonemang på den derivatan med en vanlig Taylorutveckling också).

Men ett annat gränsvärde skulle kunna vara:

limx0+(2-x)(x+2)x=limx0+4-x2x4-ε2ε=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2-x)(x+2)}{x}=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{4-x^{2}}{x}\approx \frac{4-\varepsilon^2}{\varepsilon}=\infty

Tomten 1638
Postad: 9 feb 16:42

Låt mig spinna vidare på Trinitys funderingar. Vad består din mängd E av? Består den enbart av tal? - i så fall säger din definition att E enbart kan bestå av elementet 0. Består E å andra sidan av något mer än bara tal? Vad ska i så fall olikhetstecknet i din definition betyda? Vad kan vara mindre än t ex 1/2?

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 9 feb 19:20 Redigerad: 9 feb 19:34

Ett sätt att konkret konstruera ett talsystem som (åtminstone delvis) skulle bete sig så som du vill, är att helt enkelt algebraiskt utvidga de reella talen med ett nytt tal ε\varepsilon, samt alla tal som du kan bilda genom med de vanliga räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division, t.ex. -ε-\varepsilon, 1+ε1+\varepsilon, 1ε\frac{1}{\varepsilon}, 1π-ε5\frac{1}{\pi-\varepsilon^5} och så vidare.

Detta resulterar i en kropp (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) som består av alla rationella uttryck (kvoter av polynom) med variabeln ε\varepsilon och reella koefficienter.

Vidare kan vi utvidga den vanliga ordningsrelationen <<annotation encoding="LaTeX"><</annotation>\mathbb{R} till en ordningsrelation \prec(ε)\mathbb{R}(\varepsilon) genom att bestämma att ε\varepsilon ska ha egenskapen 0εa0\prec\varepsilon\prec a för varje positivt reellt tal aa, och sedan bara följa de vanliga reglerna för olikheter i \mathbb{R}. Då kan man visa att fgf\prec g för två rationella uttryck ff och gg i (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) om och bara om f(x)<g(x)f(x){<}g(x) för alla tillräckligt små positiva reella tal xx.

T.ex. kommer vi kunna säga saker som:

   ε2ε3ε\varepsilon\prec 2\varepsilon\prec 3\varepsilon\prec\cdots

och

   ε3ε2ε\cdots\prec\varepsilon^3\prec\varepsilon^2\prec\varepsilon.

Det kommer också att gälla att a1εa\prec\frac{1}{\varepsilon} för alla reella tal aa (så 1ε\frac{1}{\varepsilon} är i någon mening "oändligt stort"), och vi har även

   1ε1ε21ε3\frac{1}{\varepsilon}\prec\frac{1}{\varepsilon^2}\prec \frac{1}{\varepsilon^3}\prec \cdots.

I mångt och mycket tycker jag som algebraiskt sinnad person att detta är en väldigt tillfredställande konstruktion – men den har nackdelen att det inte är uppenbart hur man ska utvidga viktiga funktioner från analysen såsom sin(x)\sin(x) och exe^x till detta nya talsystem. Det finns mer sofistikerade konstruktioner såssom så kallat hyperreella tal och icke-standardanalys, men det lämnar jag med varm hand över till folk som kan mer analys än mig att redogöra för!

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 9 feb 19:34 Redigerad: 9 feb 19:37

Ja, detta är ett alternativ jag redan har undersökt en del. Det du föreslår ni är ju i princip ekvivalent med hyperreella tal.

Men jag vill strunta i de reella talen fullständigt till en början, och utforska endast infinitesimalerna för sig.

Men hur skulle man kunna uttrycka det matematiskt? Alltså ”en infinitesimal är ett tal som är strikt mindre än 1/n för alla nollskilda, naturliga n men större än 0.” Eller i mängdnotation: mängden av alla tal som uppfyller det. Jag gjorde ju ett försök ovan men det blev ju så där. Kanske:

nε(0<ε<1/n)\forall n\in\mathbb{N}\exists \varepsilon (0<\varepsilon < 1/n).

EDIT: Nej, det blir syftningsfel där. Påståendet stämmer men det är ju inte det jag menar.


Tillägg: 9 feb 2024 19:36

Oj, nu såg jag att du hade uppdaterat ditt inlägg en del redan. Ska läsa igenom.


Tillägg: 9 feb 2024 19:39

Vad är skillnaden på det lite vågiga <-tecknet och det vanliga?

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 9 feb 19:42 Redigerad: 9 feb 19:49

Som jag kommenterar på slutet i min senaste edit är de hyperreella talen en mer komplicerad konstruktion, där man försöker få något man kan använda för att diskutera gränsvärden och andra analyskoncept.


Jag använder notationen \prec för att tala om den utvidgade olikhetsrelationen i (ε)\mathbb{R}(\varepsilon), och reserverar den vanliga symbolen <<annotation encoding="LaTeX"><</annotation> för olikheter i \mathbb{R}. Men det är en smaksak om man vill göra den distiktionen.


Om du vill utgå från konstruktionen jag visade här ovan, så skulle du kunna bilda mängden

   𝔼:={f(ε):0f1/nnZ+}\mathbb{E}:=\{f\in\mathbb{R}(\varepsilon):0\prec f\prec 1/n\:\forall n\in\mathbb{Z}_+\}.

Den kommer då att inkludera ε\varepsilon, men även 3ε3\varepsilon, ε2\varepsilon^2 och ε2+ε\varepsilon^2+\varepsilon. (Utmaning: Kommer 𝔼\mathbb{E} även att inkludera ε2-ε\varepsilon^2-\varepsilon?)

Men jag vet inte riktigt om det är vad du är ute efter?

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 9 feb 19:48 Redigerad: 9 feb 20:21

Vid första anblick verkar det inte som om ε2-ε\varepsilon^2-\varepsilon kommer ingå eftersom mängden endast är definierad för f>0 men vi vet ju att det uttrycket är mindre än 0.

Jag vet inte heller riktigt vad jag vill. Är mest fascinerad av väldigt små kvantiteter och topologi, verkar det som. Återkommer om en stund, sitter på tåget nu och jag får lite ont i nacken av att böja huvudet för att skriva på telefonen.

Så, nu är jag äntligen vid ett riktigt tangentbord.

Men jag vet inte riktigt om det är vad du är ute efter?

Det är i princip det jag är ute efter, men till en början vill jag endast undersöka den "infinitesimala världen", så jag vill strunta i reella tal till en början. Då kan man kanske skriva som nedan?

E+:={ε:0<ε<1/n nZ+}\displaystyle \mathbb{E_{+}}:=\{ \varepsilon:0<\varepsilon<1/n\;\forall n\in\mathbb{Z}_{+} \}

E-:={ε:1/n<ε<0 nZ-}\displaystyle \mathbb{E_{-}}:=\{ \varepsilon:1/n<\varepsilon<0\;\forall n\in\mathbb{Z}_{-} \}

𝔼:=E+E-\displaystyle \mathbb{E}:=\mathbb{E_{+}}\cup_{}^{}\mathbb{E_{-}}

Laguna 28370
Postad: 9 feb 20:26 Redigerad: 9 feb 20:26

Vad blir εε\frac{\varepsilon}{\varepsilon}?

Jag tycker det borde vara 1.

Laguna 28370
Postad: 9 feb 20:28

Det tycker jag också, men då kan du alltså gå ur den infinitesimala världen och in bland vanliga reella tal.

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 9 feb 20:30 Redigerad: 9 feb 20:32

Jo, det är sant! Det kanske inte går att undvika att tala om \mathbb{R} också.

Men @Oggih, jag tycker att ditt förslag verkar väldigt intressant. Hur skulle man mer formellt skriva det du skrev med ord, på matematiskt språk? Alltså t.ex. utvidgningen av ordningsrelationen <<annotation encoding="LaTeX"><</annotation>.

Och om man vill göra det, hur gör man för att det ska vara rigoröst då? Kan man bara säga att "vi utvidgar ordningsrelationen..."?

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 9 feb 23:25 Redigerad: 9 feb 23:57
naytte skrev:

[...] kan man kanske skriva som nedan?

E+:={ε:0<ε<1/n nZ+}\displaystyle \mathbb{E_{+}}:=\{ \varepsilon:0<\varepsilon<1/n\;\forall n\in\mathbb{Z}_{+} \}

E-:={ε:1/n<ε<0 nZ-}\displaystyle \mathbb{E_{-}}:=\{ \varepsilon:1/n<\varepsilon<0\;\forall n\in\mathbb{Z}_{-} \}

𝔼:=E+E-\displaystyle \mathbb{E}:=\mathbb{E_{+}}\cup_{}^{}\mathbb{E_{-}}

Jag skulle säga att det där inte är väldefinierade mängder. Det här går tillbaka till matematikens logiska grunder, som jag verkligen inte är en expert på, men kort sagt så kan man inte skapa en mängd av helt nya objekt som uppfyller ett villkor ur tomma intet. Det är delvis relaterat till problemet med Russels paradox, som uppstår om man försöker skapa mängden

   R:={A:AA}R:=\{A:A\not\in A\}

och sedan inser att det är omöjligt att svara på frågan om RRR\in R eller RRR\not\in R.

För att fixa dessa och massa andra teoretiska problem som upptäcktes runt sekelskiftet så utvecklade man i början av 1900-talet ett rigoröst axiomsystem för mängder som sedemera har kommit att kallas ZF-axiomen, efter Zermelo och Fraenkel som var två av upphovsmännen. Dessa utgör numera i någon mening grunden för nästan all modern matematik (ihop med det lite smått kontroversiella så kallade urvalsaxiomet).

Ett av axiomen (nummer 3 på Wikipedia) handlar just om mängdbyggarnotationen {:}\{\:\square\::\:\square\:\} som du använder. Det axiomet kallas ibland det begränsade mängdbyggaraxiomet och säger att mängdbyggarnotationen endast får användas för att konstruera delmängder av en mängd som redan existerar. Mer precist måste mängdbyggarnotationen användas på formen

   {xM:Φ(x)}\{x\in M : \Phi(x)\}

där MM är en redan existerande mängd, xx är en variabel, och Φ(x)\Phi(x) är ett villkor som xx ska uppfylla.

Det betyder att både Russel's mängd RR och din användning betraktas som olagliga i ZF-systemet. Däremot får man exempelvis lov att definiera de jämna talen som delmängd av heltalen genom att skriva

  E:={n:2n}\mathcal{E}:=\{n\in\mathbb{Z}: 2\mid n\}

eller försöka sig på att definiera infinitesimaler som

 𝔼:={f(ε):0f1/nnZ+}.\mathbb{E}:=\{f\in\mathbb{R}(\varepsilon):0\prec f\prec 1/n\:\forall n\in\mathbb{Z}_+\}\,.

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 9 feb 23:34 Redigerad: 9 feb 23:53
Laguna skrev:

Vad blir εε\frac{\varepsilon}{\varepsilon}?

Om väljer att jobba med (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) så kommer de vanliga kroppaxiomen gälla, vilket innebär att εε=1\frac{\varepsilon}{\varepsilon}=1.

(Det är inte alls självklart att man vill att infinitesimaler ska fungera så, men naytte verkar ju nöjd i det här fallet!)

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 9 feb 23:46 Redigerad: 9 feb 23:57
naytte skrev:

Och om man vill göra det, hur gör man för att det ska vara rigoröst då? Kan man bara säga att "vi utvidgar ordningsrelationen..."?

Om man vill vara riktigt tydlig så kan man försöka sig på följande definition:

Definition. För rationella funktioner f,g(ε)f,g\in\mathbb{R}(\varepsilon) gäller att fgf\prec g om f(x)<g(x)f(x){<}g(x) "för alla tillräckligt små" positiva reella xx, i bemärkelsen att det existerar något aa\in\mathbb{R} med a>0a>0 sådant att f(x)<g(x)f(x){<}g(x) för alla x(0,a)x\in (0,a).

Exempel 1: 0ε0\prec\varepsilon

Bevis. Vi kan exempelvis välja a=1a=1 (eller a=42a=42), och konstatera att 0<x0{<}x för alla x(0,1)x\in (0,1).

Exempel 2: ε12\varepsilon\prec \frac{1}{2}

Bevis. Vi kan exempelvis välja a=13a=\frac{1}{3} (eller a=14a=\frac{1}{4}), eftersom x<12x<\frac{1}{2} för alla x(0,13)x\in(0,\frac{1}{3}).

Exempel 3: ε2ε\varepsilon^2\prec\varepsilon

Bevis. Vi kan välja a=1a=1 (eller exempevis a=12a=\frac{1}{2}), eftersom det gäller att x2<xx^2{<}x för alla x(0,1)x\in (0,1).

Utmaning: Testa att bevisa några egna olikheter med den här definitionen. Till exempel:

  • ε3ε2\varepsilon^3\prec\varepsilon^2
  • 0ε2+ε0\prec\varepsilon^2+\varepsilon
  • ε2+ε1\varepsilon^2+\varepsilon\prec 1
  • ε2-ε0\varepsilon^2-\varepsilon\prec 0 (som du helt riktigt intuitivt resonerade dig fram till tidigare i tråden!). 
naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 10 feb 12:18 Redigerad: 10 feb 12:23

Ursäkta min förvirring, men i den definitionen du föreslog nu har vi redan accepterat en utvidgning av \mathbb{R}, eller missförstår jag?

Alltså har vi redan accepterat att det existerar infinitesimaler? Och om så är fallet, hur gör man själva utvidgningen av \mathbb{R} till (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) "rigorös"? Kan vi bara säga att "det existerar infinitesimaler och dessa kan kombineras aritmetiskt tillsammans med de reella talen, detta ger upphov till en utvidgad kropp (ε)\mathbb{R}(\varepsilon)" (om vi till en början bortser från ordning)?

Det verkar lite som vi har definierat en ny mängd utifrån något som inte redan är väldefinierat. Eller hur definierade vi (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) i det här fallet?

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 13 feb 17:54 Redigerad: 13 feb 20:43

Väldigt relevant fråga! Det är två steg i konstruktionen av (ε)\mathbb{R}(\varepsilon):

Det första steget är rent algebraiskt: Vi bildar helt enkelt mängden av rationella uttryck (alltså kvoter av polynom) i en variabel med reella koefficienter, där vi suggestivt väljer att kallar variabeln för ε\varepsilon (men det hade lika gärna kunnat vara xx eller yy).

Vän av ordning undrar kanske vad exakt vi menar med ett "polynom" i variablen ε\varepsilon, men låt oss för tillfället bara säga att det är linjärkombinationer av potenser i variabeln. (Om du vill ha en mer formell definition kan du kanska starta en separat tråd om detta.)

Det är en enkel men nyttig övning att övertyga sig om att den vanliga addition, subtraktion, multiplikation och division som man lärde sig göra med rationella uttryck på gymnasiet gör (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) till en kropp.

Nästa steg är topologiskt: Vi utrustar (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) med ordningsrelationen \prec som jag definierade i inlägg #22. Det är detta steg som gör att variablen ε\varepsilon får egenskaper som speglar vår intuition för hur infinitesimaler ska bete sig. Till exempel kan man visa att  ε\varepsilon är mindre än alla positiva reella tal, medan 1ε\frac{1}{\varepsilon} är större än alla reella tal. 

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 21 feb 18:38 Redigerad: 21 feb 19:59

Okej, tack så mycket!

Men jag har en sak jag har svårt att förstå. Vi vill ju skapa en definition, men vi vet inte exakt vad vårt tal ε\varepsilon är för något, eller vi har ingen direkt anknytning till de andra talmängderna som vi skulle ha då vi t.ex. definierar de komplexa talen (i2=-1i^2=-1). Men man kan kanske påstå att det måste existera minst en infinitesimal, och sedan kan man utgå från den för att skapa aritmetik. Typ först börja med att definiera addition och subtraktion med reella tal och infinitesimalen, och sedan skapa en kropp.

Något i stil med:

Låt varje reellt tal med infinitesimal del skrivas som en tupel (a,b)(a, b), där bb anger den infinitesimala delen och a,ba, b\in\mathbb{R}. Antag nu att ett gränsvärde där variabeln går mot 0 existerar och att detta samma sak som att beräkna uttrycket med någon infinitesimal istället. Då måste det finnas åtminstone en infinitesimal...

Sedan definierar man addition och multiplikation över våra tuplar precis som vi förväntar oss att det ska gå. Sedan tillåter vi oss också att skapa rationella funktioner med hjälp av dessa tal med infinitesimal del.

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 21 feb 23:55 Redigerad: 21 feb 23:59

Nu när jag har lagt ytterligare tankekraft på den idén hade det ju naturligtvis inte fungerat. Anledningen till att man överhuvudtaget kan definiera komplexa tal på det sättet är ju just att i2=-1i^2=-1, men någon sådan övergång till de reella talen kommer ju mina infinitesimaler inte att ha. Så om man skulle vilja använda tuplar skulle man vara tvungen att lägga till en plats för varje potens av infinitesimalen man har. Om infinitesimalen har potens n skulle det behövas en (n+1)-tupel. T.ex:

(0,1):=ε(0, 1) :=\varepsilon

(0,0,1):=ε2(0, 0, 1) :=\varepsilon^2

Inte så pragmatiskt med andra ord.  Den första positionen är en infinitesimal av potens 0 (alltså ett vanligt reellt tal!)


Tillägg: 22 feb 2024 15:23

\setminus

naytte Online 3695 – Tillträdande Moderator
Postad: 22 feb 18:00 Redigerad: 22 feb 19:17

Okej, nu har jag tänkt efter ytterligare och det kanske inte är en så dum idé att försöka definiera talen på det sättet. Man kanske kan säga så här:

Alla tal med infinitesimal del av högst grad n+1n+1 är en n-tupel (x1,x2,...,xn)n\displaystyle (x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n, där xn>10\displaystyle \exists x_{n>1}≠0

Nedan vill jag försöka definiera grundläggande egenskaper för dessa tuplar:

(0,0,0,0,...,1)n tal:=εn+1\displaystyle \underbrace{(0,0,0,0,...,1)}_{n \text{ tal}}:=\varepsilon^{n+1}

m(x1,x2,...,x3):=(mx1,mx2,...,mxn)\displaystyle m(x_{1},x_{2},...,x_{3}):=(mx_1,mx_2,...,mx_n)

(x1,x2,...,xn)+(y1,y2,...,yn)=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)\displaystyle (x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)

X·Y=C\displaystyle X\cdot Y=C,

C=(c1,c2,c3,...c2n)\displaystyle C=(c_{1},c_2,c_3,...c_{2n}),

cj{1,2,...,2n}=k=1jxk·yj-k\displaystyle c_{j\in\{1,2,...,2n\}}=\sum_{k=1}^{j}x_{k}\cdot y_{j-k}

Alla reella tal skulle också kunna uttryckas med en tupel, men då skulle alla xn>1=0\displaystyle x_{n\gt1}=0.

Tror du att detta skulle kunna leda någonstans?


Tillägg: 22 feb 2024 18:06

Anledningen till att jag låter indexeringen för tupelmultiplikation gå till 2n är att den största graden man kan få vid multiplikation av n-tuplar är 2(n+1) (kanske borde låta indexeringen gå från 0 istället!). Och om tuplarna är olika långa är det inga problem. Två tuplar av längd n och m där n>m kan man multiplicera på samma sätt, för tupeln av längd m kan alltid förlängas med nollor tills den också är av längd n.


Tillägg: 22 feb 2024 18:10

Nu har jag inte heller tagit upp några egenskaper om infinitesimalerna, bara försökt skapa mallen för hur man kommer kunna sätta ihop sådana här tal. Vad kallades det? Att utvidga det algebraiskt?

Svara Avbryt
Close