Är det alltid möjligt att faktorisera ut ett nollställe?
Om man har ett godtyckligt polynom (som skär x-axeln), kommer det då alltid vara möjligt att faktorisera ut ett nollställe ur den? Eftersom det alltid kommer finnas ett x-värde som gör att funktionsvärdet blir noll, verkar det inte helt omöjligt att man skulle kunna bryta ut en faktor (x-nollställe).
Självklart menar jag bara polynom där graden är större än två.
Om det inte skulle vara möjligt, vad är egentligen anledningen till att det går med alla andragradspolynom men inga andra? Är det bara en slump?
Jo, det går.
Finns det en allmän nollställesform för polynom av olika grad, som det gör för andragradspolynom?
Ett reellt polynom (alltså med reella koefficienter) kan alltid skrivas som en produkt av reella förstagrads- eller andragradspolynom. Varje förstagradsfaktor motsvarar ett nollställe. Om det bara finns reella nollställen så är alla faktorerna förstagradspolynom. Om man tillåter komplexa rötter så finns det alltid lika många förstagradsfaktorer som gradtalet på polynomet, så i det fallet blir det som med andragradspolynom, som du frågar efter.
Det finns en sats som heter algebrans fundamentalsats som säger lite mer.
naytte skrev:Finns det en allmän nollställesform för polynom av olika grad, som det gör för andragradspolynom?
Om du undrar ifall det finns något liknande pq-formeln fast för högre grad så är svaret att det finns motsvarande formel för tredjegradspolynom. Den kallas Cardanos formel, men den är så krånglig att den inte används i praktiken.
För fjärde- och högre grads polynom finns det ingen sådan formel.
Jaha, bra, jag tänkte inte på pq-formeln, utan på formen (x-x1)(x-x2).
För fjärdegradspolynom finns det. Men för högre har det bevisats att det inte finns någon formel med bara rotutdragningar: https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem
Laguna skrev:För fjärdegradspolynom finns det.
Det visste inte jag. Tack, nu har jag lärt mig något nytt idag!
Jag menade en nollställesform, exempelvis för andragradspolynom finns det .
Finns det fler sådana allmäna former för polynom av högre grad? Jag förstår att det alltid går att bryta ut ett nollställe, men finns det allmäna former? Det skulle vara väldigt bekvämt.
naytte skrev:Jag menade en nollställesform, exempelvis för andragradspolynom finns det .
Finns det fler sådana allmäna former för polynom av högre grad? Jag förstår att det alltid går att bryta ut ett nollställe, men finns det allmäna former? Det skulle vara väldigt bekvämt.
Ja det gör det.
Ett godtyckligt polynom P(x) av grad n kan alltid skrivas på faktoriserad form enligt P(x) = k(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn), där x1, x2, x3 ... xn är polynomets nollställen. Dessa nollställen kan vara reella eller komplexa.
Vad är k i detta fall? Är det en konstant?
naytte skrev:Vad är k i detta fall? Är det en konstant?
Ja, sorry, jag missade att skriva det.
Ja, k är en konstant (som är lika med koefficienten framför xn-termen).
Så om man har ett polynom , så blir ?
Ja, det stämmer.
Det är fr o m grad 5 som det inte finns någon ”pq-formel”. Bevisades i början på 1800-talet av bl a av Abel och Galois.
