12 svar
175 visningar
naytte är nöjd med hjälpen
naytte Online 4215 – Moderator
Postad: 19 jun 17:33 Redigerad: 19 jun 17:35

Är det tillåtet att skriva om funktioner i en integral med Leibniz notation?

Halloj!

Jag satt och latschade lite med en integral förut och jag fick en idé som verkar fungera, men den kanske egentligen borde orsaka hjärtklappning. Det verkar vara ganska likt variabelbyten. Nedan kommer ett enkelt exempel. Låt säga att man ska bestämma följande integral:

1xx-1dx\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x\left(x-1\right)}\mathrm{d}x

Det gängse sättet att lösa en sådan här integral på är ju med partialbråksuppdelning. Men vad händer om man gör omskrivningen:

1xx-1dx=dlnxdx·1x-1·dx=1x-1dlnx=e-lnx-1dlnx\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x\left(x-1\right)}\mathrm{d}x=\int_{}^{}\frac{\mathrm{d}\ln \left|x\right|}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{1}{x-1}\cdot\mathrm{d}x=\int_{}^{}\frac{1}{x-1}\mathrm{d}\left(\ln \left|x\right|\right)=\int_{}^{}e^{-\ln\left(x-1\right)}\mathrm{d}\left(\ln \left|x\right|\right)

Det känns som om detta borde vara lösbart. När jag försöker lösa detta får jag att:

1xx-1dx=lnx-1-lnx+C\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x\left(x-1\right)}\mathrm{d}x=\ln\left|x-1\right|-\ln\left|x\right|+C

Så svaret blir rätt, om jag kommer ihåg mina standardintegraler rätt. Men det känns som om jag har gjort något lite halvförbjudet eller icke-ortodoxt. Sedan verkar det inte ha varit särskilt effektivt att göra så här i just det här fallet. Men det känns som om det borde finnas integraler där detta kan förenkla en del.

Vad tycker ni om detta? Begick jag just en dödssynd eller är detta helt OK?

Calle_K 1945
Postad: 19 jun 19:25

Det du väsentligen gör är variabelbytet u=ln|x|, av den anledningen ser jag inte varför första delen inte skulle fungera.

Dock förstår jag inte vad du gör i andra delen? Hur integrerar du e-ln(x-1)d(ln|x|)?

naytte Online 4215 – Moderator
Postad: 19 jun 20:07 Redigerad: 19 jun 20:13

Ah, då var det som jag trodde, helt enkelt en variabelsubstitution skriven på ett annat sätt!

1elnx-1dlnx=lnelnx-1-lnelnx=lnx-1-lnx+C\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{e^{\ln x}-1}\mathrm{d}\ln x=\ln\left(e^{\ln x}-1\right)-\ln\left(e^{\ln x}\right)=\ln \left(x-1\right)-\ln x+C

Nu slarvade jag med belopptecknen men men... Jag vet inte riktigt hur jag ska motivera detta förutom att jag kunde nedanstående integral sedan innan:

1ex-1dx\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{e^{x}-1}\mathrm{d}x

Men man ser ju att den första termen måste vara ln(ex-1)\ln(e^x-1) men sedan måste man ju kompensera för att derivatan av det inte blir exakt integranden.

Så lite tur kanske... Men som min lärare brukade säga: ju mer man gör, desto oftare kommer turen att infinna sig.


Men detta verkar ju inte vara något annat än vanlig variabelsubstitution. Tyckte bara det var coolt att man kunde stryka dx\mathrm{d}x mot dx\mathrm{d}x osv... Visar verkligen att differentialer kan betraktas som algebraiska objekt utan större problem.


EDIT: märkte nu att det ska stå ln(1-x)-lnx\ln(1-x) - \ln x. Lite otur i turen kanske? :D

naytte skrev:

Visar verkligen att differentialer kan betraktas som algebraiska objekt utan större problem.

Påminner mig om mattememetrenden kring detta:

naytte Online 4215 – Moderator
Postad: 19 jun 22:27 Redigerad: 19 jun 22:27

Jag gjorde en del efterforskningar på det här området när jag skrev mitt gymnasiearbete, och jag kom fram till att matematiker lite innan Weierstraß levde i en vanföreställning om att infinitesimaler inte var "rigörsa" och man tog därför fram den klassiska ϵ\epsilon-δ\delta-definitionen för kontinuitet och gränsvärden. 

Exempelvis Leibniz att tyckte att hans differentialer i själva verket var infinitesimaler och han jobbade med någon typ av relation \sim, där två tal var relaterade genom \sim omm de skilde sig infinitesimalt. Det är så man gör i moderna system med infinitesimaler också. I själva verket hade han nästan helt rätt i sina formuleringar. Han hade exempelvis "the law of continuity", som i icke-standardanalys och modellteori motsvaras av transfer.

Det är riktigt synd att Weierstraß och hans kollegor kom och förstörde, annars hade infinitesimaler nog fortfarande varit standard och då hade matematiker slutat böla när baserade fysiker gångrar med differentialer.

naytte Online 4215 – Moderator
Postad: 20 jun 01:19 Redigerad: 20 jun 01:19

Jag hittade en integral där detta verkar vara ganska trevligt (om x>0x>0):

1xln(xn)dx\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{x\ln(x^n)}\mathrm{d}x

Vi kan känna igen att dlnxdx=1x\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ln x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x} och ser enkelt att:

1nlnxdlnx=lnln(x)n+C\displaystyle \int_{}^{}\frac{1}{n\ln x}\mathrm{d}\left(\ln x \right)=\frac{\ln\left| \ln(x)\right|}{n}+C

Detta är visserligen inte så svårt att lösa med vanliga variabelbyten heller, men jag tycker det är mycket trevligare att skriva på det här sättet. Det går snabbare också och tar mindre plats än att behöva introducera nya variabler hela tiden. Dessutom finns det väl vissa krav på variabelsubbar som inte finns på den här typen av omskrivningar?

oggih 1234 – F.d. Moderator
Postad: 20 jun 06:36 Redigerad: 20 jun 07:20

Lite sidospår till ursprungsfrågan, men vad tänker du sig att din integrand 1/(x(x-1)) har för definitionsmängd? Om definitionsmängden är hela R\{0,1}, så räcker det inte att bara slänga dit ett "+C" på slutet, om du köpte vad jag skrev i den här tråden 🙂

oggih 1234 – F.d. Moderator
Postad: 20 jun 09:05
naytte skrev:

Dessutom finns det väl vissa krav på variabelsubbar som inte finns på den här typen av omskrivningar?

Vilka krav tänker du på? Så vitt jag kan se är det du gör precis ekvivalent med variabelsubstitution, fast uttryckt med annan notation/formalism.

oggih skrev:

Lite sidospår till ursprungsfrågan, men vad tänker du sig att din integrand 1/(x(x-1)) har för definitionsmängd? Om definitionsmängden är hela R\{0,1}, så räcker det inte att bara slänga dit ett "+C" på slutet, om du köpte vad jag skrev i den här tråden 🙂

Nej, det köper jag. Jag skrev ett ytterligare inlägg i tråden nu angående detta.


Vilka krav tänker du på?

Jag vet inte faktiskt. Jag minns bara att jag skapade en tråd någon gång där jag frågade om trigonometrisk substitution, och fick höra att det fanns något krav för att det skulle gå. Någonting om monotonitet. Men jag minns inte exakt.

oggih 1234 – F.d. Moderator
Postad: 20 jun 16:37 Redigerad: 20 jun 16:39
naytte skrev:
oggih skrev:

Lite sidospår till ursprungsfrågan, men vad tänker du sig att din integrand 1/(x(x-1)) har för definitionsmängd? Om definitionsmängden är hela R\{0,1}, så räcker det inte att bara slänga dit ett "+C" på slutet, om du köpte vad jag skrev i den här tråden 🙂

Nej, det köper jag. Jag skrev ett ytterligare inlägg i tråden nu angående detta.

Så kan du skriva ner en (styckvis definierad) formel för en generell primitiv funktion F:{0,1}F:\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\to\mathbb{R} till funktionen f:{0,1}f:\mathbb{R}\setminus\{0,1\} definierad av f(x)=1x(x-1){f(x)}=\frac{1}{x(x-1)}?

naytte Online 4215 – Moderator
Postad: 20 jun 17:07 Redigerad: 20 jun 17:08

Förhoppningsvis tänkte jag rätt nu:

F(x)=ln(x-1)-lnx+C1om x>1ln(1-x)-lnx+C2om 0<x<1ln(1-x)-ln(-x)+C3om x<0\displaystyle F{(x)}=\left\{\begin{array}{ll}\ln(x-1)-\ln x+C_{1}&\text{om }x>1\\\ln(1-x)-\ln x+C_2&\text{om }0< x<1\\\ln(1-x)-\ln(-x)+C_3&\text{om }x<0\end{array}\right.

oggih 1234 – F.d. Moderator
Postad: 20 jun 19:42
naytte skrev:

Förhoppningsvis tänkte jag rätt nu:

F(x)=ln(x-1)-lnx+C1om x>1ln(1-x)-lnx+C2om 0<x<1ln(1-x)-ln(-x)+C3om x<0\displaystyle F{(x)}=\left\{\begin{array}{ll}\ln(x-1)-\ln x+C_{1}&\text{om }x>1\\\ln(1-x)-\ln x+C_2&\text{om }0< x<1\\\ln(1-x)-\ln(-x)+C_3&\text{om }x<0\end{array}\right.

Ser utmärkt ut! 🎉

Återigen en sådan här grej jag inte kan fatta varför man inte bara lär ut i skolan... Det är verkligen inget krångligt att bara tillägga att "konstanten gäller bara lokalt för funktioner med diskontinuerliga definitionsmängder".

Vet inte vad jag skulle ha gjort utan er kunniga användare här på PA!

Svara Avbryt
Close