Är detta en bra eller dålig lösningsmetod? best. avbildningsmatris

Halloj!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag har resonerat på följande sätt:

Låt $\displaystyle \overline{u}:=(u_1,u_2)$ vara en godtycklig vektor i $\mathbb{R^2}$. Vi börjar med att utföra den första deltransformationen och erhåller då vektorn $\displaystyle \overline{u'}:=(u_1,3u_2)$.

Jag tolkar det som att det som ska hittas är avbildningsmatrisen för den ortogonala projektionen. För att göra detta definieras en linje $\displaystyle L: y=kx+m$ med följande egenskaper:

(a) $L$ är vinkelrät mot $y=2x$, alltså har vi $k = -\frac 12$

(b) Punkten $(u_1,3u_2)$ ska ligga på vår linje, varur $m$ kan bestämmas till $m = \frac 12 u_1 +3u_2$. Alltså har vi:

$\displaystyle L: y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}u_1+3u_2$

Nu bestäms skärningspunkten mellan $L$ och den enligt uppgiften givna linjen:

$\displaystyle 2x = -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}u_1+3u_2 \iff x=\frac{u_1+6u_2}{5}$

Detta innebär att vi har:

$\displaystyle T\left(\overline{u}\right)=\begin{bmatrix} \frac{1}{5}u_1+\frac{6}{5}u_2 \ \frac{2}{5} u_1+\frac{12}{5}u_2\end{bmatrix}$

Detta innebär att avbildningsmatrisen $A$ måste vara:

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} \frac{1}{5} &\frac{6}{5} \ \frac{2}{5} &\frac{12}{5}\end{bmatrix}$

Skulle ni säga att det här är ett OK sätt att lösa uppgiften på? Jag tjuvkikade lite i facit men det var väldigt mycket mer komplext än mitt sätt här.