10 svar

246 visningar

naytte behöver inte mer hjälp

Är detta en korrekt härledning av "energisatsen" i mekanik?

Hej!

På gymnasiet lär man ju sig om den "mekaniska energins bevarande", förenklat att summan av den potentiella- och kinetiska energin hos en partikel bevaras om det inte finns friktion eller liknande interaktioner. Emellertid lär man sig inte riktigt om hur denna sats härleds eller under vilka förutsättningar den gäller. Man lär sig inte heller om vad "potentiell energi" ens är.

Jag har börjat läsa lite mekanik på egen hand och jag skulle vilja försöka härleda satsen nedan i en allmän form, och sedan ställa några frågor.

Studera en kropp med konstant massa $m$ som flyttas längs en bana $\gamma$ i ett konservativt kraftfält $\mathbf{F}^\prime$ och samtidigt påverkas av icke-konservativa krafter (t.ex. friktion eller luftmotstånd), vars summa skrives $\mathbf{F}_\text{irr.}$ . Arbetet $W[\gamma]$ som uträttas på kroppen längs denna bana är då per definition

$\displaystyle W\left[\gamma\right]=\int_{\gamma}\left(\mathbf{F}^\prime +\mathbf{F}_{\text{irr.}}\right)\cdot d\mathbf{r}=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=m\int_{\gamma}\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}dt$

Eftersom $d\mathbf{v} = (dv_x,dv_y,dv_z)$ har vi att $d\mathbf{v}\cdot \mathbf{v} = v_xdv_x+v_ydv_y+v_zdv_z$ , så att

$\displaystyle W\left[\gamma\right] = m\int_{\gamma}\left(v_xdv_x+v_ydv_y+v_zdv_z\right)=\Delta\left(\frac{mv^2}{2}\right)=\Delta E_k$

Om vi utgår från ursprungsekvationen för arbetet kan vi också dela upp arbetet i två linjeintegraler:

$\displaystyle \displaystyle W\left[\gamma\right] = \int_{\gamma}\mathbf{F}^\prime\cdot d\mathbf{r}+\int_{\gamma}\mathbf{F}_{\text{irr.}}\cdot d\mathbf{r}$

Vi kan kalla den andra termen i HL för $W_\text{irr.}$ . Eftersom kraftfältet antas vara konservativt, existerar det en skalärfunktion $V=V(\mathbf{r},t)$ sådan att $\mathbf{F}^\prime = -\nabla V$ . Därför gäller det att

$\displaystyle \mathbf{F}^\prime\cdot d\mathbf{r} = -dV+\frac{\partial V}{\partial t}dt$

så att

$\displaystyle W\left[\gamma\right]=\int_{\gamma}\mathbf{F}^\prime\cdot d\mathbf{r} + W_\text{irr.} = -\Delta V+\int_{\gamma}\frac{\partial V}{\partial t}dt+W_{\text{irr.}}$

Om vi likställer dessa uttryck för arbetet får vi

$\displaystyle \Delta \left(E_k +V\right)= \int_{\gamma}\frac{\partial V}{\partial t}dt+W_{\text{irr.}}$

Ur denna härledning som jag har kladdat fram drar jag följande slutsatser, och min fråga är om de är korrekta:

Det man menar med "potentiell energi" i är i själva verket alltså potentialfunktionen $V$ till det konservativa kraftfältet, under antagandet om att detta är (lokalt) konservativt.
Om potentialfunktionen är instationär kan "mekanisk energi" tillföras eller fråntas partikeln under banan.
Eftersom icke-konservativa ineraktioner är "isotropa" (t.ex. friktionen byter aldrig riktning relativt färdriktningen) så kommer $W_\text{irr.}<0$ , så om det finns icke-konservativa krafter kommer energin alltid att minska.

Jag undrar också om denna "härledning" är koordinatberoende eller om man hade kunnat göra samma sak i ett godtyckligt val av koordinater?

Notationen med kurvintegralen skulle jag städa upp med vektornotation

$\cfrac{d(v^2)}{dt} = \cfrac{d(\mathbf v \cdot \mathbf v)}{dt} = \cfrac{d \mathbf v}{dt} \cdot \mathbf v + \mathbf v \cdot \cfrac{d \mathbf v}{dt} = 2\cfrac{d \mathbf v}{dt} \cdot \mathbf v$

Eller bara

$\cfrac{d\mathbf v}{dt} \cdot \mathbf v = \cfrac{1}{2}\cfrac{d v^2}{dt}$

vilket är ett ganska välkänt resultat: att kedjeregeln gäller för vektoranalys så länge man ersätter vanlig multiplikation med skalärprodukten.

Ditt uttryck

tycker jag är för mycket att dra ur en hatt. Du vill göra det hela så allmänt som möjligt genom att betrakta en potential som är tidsberoende, men då blir notationen väldigt svårläst eftersom du inte definierat tidsberoendet hos kurvan $\gamma$ på explicit sätt. Ska du oberopa detta skulle jag rekommendera att du härledde det explicit från kurvintegralen då tidsberoende potentialer inte är standard.

Som du själv pekar ut så är tidsberoende potentialfält inte konservativa i den vanliga meningen, men då blir ju hela maskineriet med potentiell energi ganska poänglöst eftersom man inte längre kan bokföra energin bara genom vägen.

Om tidsberoende potentialer så förekommer de flitigt i elektromagnetism men där så är kraftfältet inte gradienter av potentialer utan det finns även vektorpotentialer ett begrepp man inte stöter på i elementär mekanik.

För elektriska fältet har vi exempelvis

$\mathbf E = -\nabla \phi - \partial \mathbf A / \partial t$

I statik är vektorpotentialen A konstant så då får man elektrostatisk energi. Men i tidsvarierande situationer så blir det inte meningsfullt att prata om elektrisk potentiell energi (eftersom någon sådan inte är bevarad) utan man måste beakta en helhet av elektromagnetisk energi för att få en användbar modell.

Om jag var du skulle jag i beviset isolera mig till tidsoberoende fält om du vill härleda en för makaniken användbar sats. Sedab kan du ta din ekvation och diskutera konceptet tidsberoende fält, men var medveten av att du även då jobbar med ett specialfall.

Hej, tack för svar.

Angående ditt stycke om att jag borde härleda tidsberoendet direkt från kurvintegralen, vad menar du med det? Räcker det inte med att helt enkelt säga att potentialen har ett tidsberoende? Identiteten $\mathbf{F} = -\nabla V$ kan ju gälla ändå eller orsakar ett sådant antagande problem någon annanstans?

Bara för att förtydliga så försöker jag själv förstå vad satsen om den "mekaniska energins bevarande" faktiskt innebär och under vilka förutsättningar den gäller (och under vilka den inte gäller). Det är därför jag har krånglat till det med tidsberoenden och dylikt.

Jag vill bara att du härleder

med standardsteg istället för att säga därför. Kanske bara är en pet peeve från min sida men jag tycker alltid att dina bevis är förhållandevis odetaljerade.

Vill du använda differentialnotation så skulle jag följa sekvensen där man börjar med total differential

$dV = \nabla V \cdot d \mathbf r + \cfrac{\partial V}{\partial t}dt$

$-\nabla V \cdot d\mathbf r = -dV + \cfrac{\partial V}{\partial t}dt$

$\mathbf F \cdot d \mathbf r = -dV + \cfrac{\partial V}{\partial t}dt$

Om integralpresentation så hade jag tyckt att du borde byta integralgränser till tidgränser i arbetesintegralen för att betona att det är tidsberoende.

$W = \int_\gamma \mathbf F \cdot d\mathbf r = \int_{[t_0,t_1]} \mathbf F \cdot \mathbf v dt$

så hade man inte behövt snubbla över det halvvägs genom presentationen.

Därifrån är differentialargumentet matematiskt ekvivalent med partiell integration med parametrisering av kurvan -- men jag skriver inte ut det.

Hmm okej, jag förstår! Jag kanske har en tendens att skriva ut för få steg i mina härledningar och bevis. Jag ska tänka på det i framtiden.

Anledningen till att jag inte bytte gränser på arbetsintegralen var för att jag tänkte att man stryker $dt$ mot $dt$ , men jag förstår att det inte är helt självklart eftersom jag inte skrev ut det, utan bara bytte direkt till integralen över hastighetskomposanterna.

Angående mitt ursprungsinlägg:

Är det en korrekt slutsats att det man egentligen menar med "potentiell energi" alltså är potentialfunktionen till kraftfältet i fråga?

naytte skrev:
Angående mitt ursprungsinlägg:

Är det en korrekt slutsats att det man egentligen menar med "potentiell energi" alltså är potentialfunktionen till kraftfältet i fråga?

I det sammanhanget som du beskriver, ja -- dvs när den potentiella energin definieras i relation till ett kraftfält.

Men du kan ha potentiella energier där kraften har en matematisk potential utan att vara associerad med ett ett kraftfält. Det mest uppenbara är en elastisk kraft från deformationen av en elastisk kropp, där det inte finns något egentligt kraftfält som är utspritt i rummet.

Ta två kulor med en fjäder mellan varandra där kraften är F = -kx och associerad elastisk potentiell energi är E = kx^2 / 2. Den elastiska energin är i väldigt expansiv mening potentialen till ett elektromagnetiskt fält som alstras av den elastiska kroppens laddade beståndsdelar men det finns inget "elasticitetfält" runt en fjäder eller en gummisnodd annat än som en matematisk konvention.

Edit: Så jag skulle säga "potentialfunktion till kraften" snarare än att dra in fälttermen som för mig betyder något mer realistiskt.

Potentiell energi som koncept är helt enkelt energifunktioner som definieras av (i kontexten) icke-dynamiska storheter, dvs som inte är rörelseenergi.

Hmm, okej.

Om vi alltså byter ut begreppet "konservativt kraftfält" mot "konservativ kraft", skulle resonemanget i ursprungsinlägget även kunna gälla t.ex. en utsträckt fjäder med en kropp i (om man visar att fjäderkraften är konservativ), t.ex. en ideal slangbella med en liten sten i?

Jag, resonemanget fungerar och är allmänt av vad jag kan bedöma även om jag har mina alternativa preferenser om notation, som identitieten från första inlägget.

Kom dock ihåg att potentialdefinitionen traditionellt härleds från att definiera potentiell energi hos ett system i ett tillstånd S som arbetet som krävs för att förflytta systemet från ett referenstillstånd $S_0$ till tillståndet $S$ . I abstrakta termer kan vi skriva det som

$V(S) = \int_{S_0}^{S} \mathbf F \cdot d \mathbf r$

Denna definition visas sedan vara ekvivalent med gradientdefinitionen

$F = - \nabla V$

om arbetet är oberoende av vägen. Set senare är mer av ett matematiskt samband i fall med par-krafter som inte egentligen har utbredning i rummet.

Okej, tack.

Med tanke på den andra tråden, hur skulle man behöva göra för att generalisera detta ytterligare till kroppar som inte är punktmassor? Om vi tar en boll som idealiseras som en stelkropp i en "ideal" slangbella som exempel, så kommer bollen sannolikt börja snurra runt sin egen axel då vi skjuter iväg den.

Då antar jag att energitermen i VL $\Delta E$ borde få ännu ett bidrag från rotationen. Kan man generalisera härledningen genom att utgå från kroppar med kontinuerligt fördelad massa istället för punktmassor, och integrera över masselement istället?

Man får helt enkelt göra den vedertagna konstruktionen av stelkroppsmekaniken och allt blir i princip samma förutom att man får en massa volym- och ytintegraler. En allmänn teori om stelkroppar i kraftfält har dock ingen omedelbar tillämpning då det finns få situationer där detta faktiskt sker. På makroskala är de enda kraftfälten som är relevanta gravitation och då jobbar man just med den. Stelkroppsmekanik dyker främst upp för projektiler och tröghet i maskiner och konstruktioner och där kraftfält och potentiell energi spelar en ganska liten roll eller så är situationen mer komplex. Mina spontana tankar.

Tillämpad fysik och ingenjörskonst är en avvägning mellan det specifika och det allmänna.

Svara

Visa senaste svar