Är detta en korrekt härledning av "energisatsen" i mekanik?

Hej!

På gymnasiet lär man ju sig om den "mekaniska energins bevarande", förenklat att summan av den potentiella- och kinetiska energin hos en partikel bevaras om det inte finns friktion eller liknande interaktioner. Emellertid lär man sig inte riktigt om hur denna sats härleds eller under vilka förutsättningar den gäller. Man lär sig inte heller om vad "potentiell energi" ens är.

Jag har börjat läsa lite mekanik på egen hand och jag skulle vilja försöka härleda satsen nedan i en allmän form, och sedan ställa några frågor.

Studera en kropp med konstant massa $m$ som flyttas längs en bana $\gamma$ i ett konservativt kraftfält $\mathbf{F}^\prime$ och samtidigt påverkas av icke-konservativa krafter (t.ex. friktion eller luftmotstånd), vars summa skrives $\mathbf{F}_\text{irr.}$. Arbetet $W[\gamma]$ som uträttas på kroppen längs denna bana är då per definition

$\displaystyle W\left[\gamma\right]=\int_{\gamma}(\mathbf{F}^\prime +\mathbf{F}_{\text{irr.}})\cdot d\mathbf{r}=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=m\int_{\gamma}\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}dt$

Eftersom $d\mathbf{v} = (dv_x,dv_y,dv_z)$ har vi att $d\mathbf{v}\cdot \mathbf{v} = v_xdv_x+v_ydv_y+v_zdv_z$, så att

$\displaystyle W\left[\gamma\right] = m\int_{\gamma}\left(v_xdv_x+v_ydv_y+v_zdv_z\right)=\Delta\left(\frac{mv^2}{2}\right)=\Delta E_k$

Om vi utgår från ursprungsekvationen för arbetet kan vi också dela upp arbetet i två linjeintegraler:

$\displaystyle \displaystyle W\left[\gamma\right] = \int_{\gamma}\mathbf{F}^\prime\cdot d\mathbf{r}+\int_{\gamma}\mathbf{F}_{\text{irr.}}\cdot d\mathbf{r}$

Vi kan kalla den andra termen i HL för $W_\text{irr.}$. Eftersom kraftfältet antas vara konservativt, existerar det en skalärfunktion $V=V(\mathbf{r},t)$ sådan att $\mathbf{F}^\prime = -\nabla V$. Därför gäller det att

$\displaystyle \mathbf{F}^\prime\cdot d\mathbf{r} = -dV+\frac{\partial V}{\partial t}dt$

så att

$\displaystyle W\left[\gamma\right]=\int_{\gamma}\mathbf{F}^\prime\cdot d\mathbf{r} + W_\text{irr.} = -\Delta V+\int_{\gamma}\frac{\partial V}{\partial t}dt+W_{\text{irr.}}$

Om vi likställer dessa uttryck för arbetet får vi

$\displaystyle \Delta \left(E_k +V\right)= \int_{\gamma}\frac{\partial V}{\partial t}dt+W_{\text{irr.}}$

Ur denna härledning som jag har kladdat fram drar jag följande slutsatser, och min fråga är om de är korrekta:

• Det man menar med "potentiell energi" är i själva verket alltså potentialfunktionen $V$ till gravitationens kraftfält, under antagandet om att detta är (lokalt) konservativt.
• Om potentialfunktionen är instationär kan "mekanisk energi" tillföras eller fråntas partikeln under banan. 
• Eftersom icke-konservativa ineraktioner är "isotropa" (t.ex. friktionen byter aldrig riktning relativt färdriktningen) så kommer $W_\text{irr.}<0$, så om det finns icke-konservativa krafter kommer energin alltid att minska.

Jag undrar också om denna "härledning" är koordinatberoende eller om man hade kunnat göra samma sak i ett godtyckligt val av koordinater?