naytte 3490
Postad: 11 jan 18:29 Redigerad: 11 jan 18:37

Är detta ett acceptabelt resonemang för volymen på en torus?

God afton, Pluggakuten!

Jag har suttit lite med en uppgift där man hade en cirkel inritad i ett koordinatsystem, med centrum i punkten (R, 0) och en radie r. R, r >0. Denna cirkel låter man sedan rotera ett varv kring y-axeln, så att man får en torus. Uppgiften var sedan att bestämma ett uttryck för volymen på torusen. Jag har gjort på följande vis:

Cirkeln kommer alltid kunna skrivas på följande vis: (x-R)2+y2=r2\displaystyle (x-R)^2+y^2=r^2. Vi börjar med att lösa ut yy och bara fokusera på cirkelns övre del:

(x-R)2+y2=r2y(x)=r2-(x-R)2\displaystyle (x-R)^2+y^2=r^2\implies y(x)=\sqrt{r^{2}-(x-R)^2}

Sedan delar vi in cirkelns övre del i ett ändligt antal rektanglar, där bredden på varje rektangel betecknas Δx\displaystyle \Delta x, där Δx=(R+r)-(R-r)n\displaystyle \Delta x=\frac{(R+r)-(R-r)}{n}. n motsvarar antalet rektanglar. Om man skulle låta en sådan rektangel rotera kring y-axeln skulle man kunna approximera dess volym med: Vy(xi)·2πxi·Δx\displaystyle V\approx y(x_{i})\cdot 2\pi x_{i}\cdot \Delta x, där xix_{i} motsvarar x-värdet i den i:te rektangelns högra hörn. Så torusens totala volym kan approximeras med:

V4πi=1ny(xi)·xi·Δx\displaystyle V\approx 4\pi\sum_{i=1}^{n} y(x_{i})\cdot x_{i}\cdot \Delta x (Notera att summan multipliceras med 2 för att ta hänsyn till torusens undre del).

Om vi nu slutar låter nn \to \infty ser vi att:

V=limn4πi=1ny(xi)·xi·Δx=4πR-rR+rxr2-(x-R)2 dx\displaystyle V=\lim_{n \to \infty} 4\pi\sum_{i=1}^{n} y(x_{i})\cdot x_{i}\cdot \Delta x=4\pi\int_{R-r}^{R+r}x\sqrt{r^2-(x-R)^2}\;\mathrm{d}x

Laguna Online 27738
Postad: 12 jan 08:00

Vad får ditt uttryck för värde?

naytte 3490
Postad: 12 jan 16:31

Bra fråga. Det var inte direkt trivialt att lösa den integralen... 😔 Ska försöka senare igen när jag har tid och återkomma!

Svara Avbryt
Close